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11月
3 2008
 

几何题解题技巧


   作者:高红妹 发表时间-23 :35:52  阅读( 6678 )| 评论( 1 )

在小学阶段,我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。在计算几何图形面积时,除了能正确运用面积计算公式外,还需要掌握一定的解题技巧。
  一、割补法
  割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补,拼成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。
  例1如图1,已知正方形的边长是6厘米,求阴影部分的面积。
   
  分析与解:如图2所示,连接正方形的对角线,可以将阴影I分割成I1和I2两部分,然后将阴影I1移至空白I1′处,将阴影I2移至空白I2′处,这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。要求阴影部分的面积,只要求出这个等腰直角三角形的面积即可,列式为:6×6÷2=18(平方厘米)。
  练一练1:如图3,已知AB=BC=4厘米,求阴影部分的面积。
  
  二、平移法
  平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动,拼成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。
   例2如图4,已知长方形的长是12厘米,宽是6厘米,求阴影部分的面积。
  
  
  分析与解:如图5所示,连结长方形两条长的中点,把阴影部分分成左右两部分,然后把左边的阴影部分向右平移至空白处,这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。要求阴影部分的面积,只要求出这个正方形的面积,列式为:6×6=36(平方厘米)。
   练一练2: 如图6,求阴影部分的面积(单位:分米)。
  
  三、旋转法
  旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针(或逆时针)方向转动一定的角度,使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。
  例3如图7,已知ABC是等腰直角三角形,斜边AB=20厘米,D是AB的中点,扇形DAE和DBF都是圆的,求阴影部分的面积。
  
  
  分析与解:如图8所示,把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后,扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆,两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形,要求阴影部分的面积,只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可,列式为:3.14×(20÷2)2÷2-(20÷2)2÷2=107(平方厘米)。
  练一练3: 如图9,在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF,E点正好落在直角三角形的斜边AC上,已知AE=8厘米,EC=12厘米,求图中阴影部分的面积。
  
  四、等分法
  等分法是指把一个几何图形平均分成若干个完全相同的小图形,然后根据大图形与小图形面积之间的倍数关系进行求解的方法。
  例4如图10,三角形ABC的面积是48平方分米,点D、E、F与G、H、I分别是三角形ABC与三角形DEF各边的中点。求阴影部分的面积。
  
  分析与解:通过作辅助线,可以将三角形ABC平均分成16个完全一样的小三角形(如图11所示),阴影部分为其中3个小三角形,即阴影部分的面积占三角形ABC的面积的。阴影部分的面积为:48×=9(平方分米)。
  练一练4: 如图12所示,长方形ABCD的长是10厘米,宽是6厘米,E、F分别是AB和AD的中点,求阴影部分的面积。
  
  五、轴对称法
  轴对称法是指根据轴对称图形的特点,在原图上再构造一个完全相同的图形,使原图的面积扩大2倍,然后通过计算新图形的面积来求出原图面积的方法。
  例5如图13,在扇形OAB中,OA、OB的长均为6厘米,∠AOB=45°,求阴影部分的面积。
  
  
  分析与解:如图14所示,根据轴对称图形的特点,以OB边所在的直线为对称轴,作一个与扇形OAB完全一样的扇形OA′B,这样两个扇形就组成了一个圆。阴影部分的面积就相当于用圆的面积减去等腰直角三角形AOA′的面积,然后再除以2,列式为:(3.14×62×-6×6÷2)÷2=5.13(平方厘米)。
  练一练5: 如图15所示,已知等腰直角三角形ABC的斜边AC长是8厘米,求这个三角形的面积。
  
  六、整体分析法
  整体分析法是指不注重对问题局部细节的考虑,而着眼于把局部放在一个整体中,通过观察、分析,寻求局部与整体之间的联系,从而找到解决问题的方法。
  例6如图16,已知大圆的直径是20厘米,求阴影部分的面积。
  
  
  分析与解:通过仔细观察图形,我们可以发现:在大圆中,与阴影Ⅰ、阴影Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有4个,其中阴影1个,空白3个。要求阴影部分的面积,就相当于把大圆的面积平均分成4份,求其中一份的面积,列式为:3.14×(20÷2)2÷4=78.5(平方厘米)。
  练一练6: 如图17所示,已知大圆的直径是16厘米,求阴影部分的面积。
  
  七、等量代换法
  等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系,以此代彼,相互替换,从而求出面积的方法。
  例7如图18,长方形ABCD的面积为1500平方厘米,阴影部分的面积为880平方厘米,求四边形EFGO的面积。
  
  分析与解:在长方形ABCD中,△ABF与△DBF同底(即BF的长)、等高(即长方形的宽),所以S△ABF= S△DBF 。若从这两个三角形中同时减去△BEF,则剩下的图形面积相等,即:S△ABE=S△DEF 。这样S阴影=S四边形EFGO+
  S△ACD ,则S四边形EFGO=S阴影-S△ACD 。四边形EFGO的面积为:880-1500÷2=130(平方厘米)。
  练一练7: 如图19所示,已知平行四边形EFGH的底是8厘米,高是6厘米,阴影部分的面积是16平方厘米,求四边形ABCD的面积。
  
  
  八、两次求差法
  两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理,通过两次求差求出面积的方法。
  例8如图20,长方形ABCD的长是6厘米,宽是4厘米,求阴影部分的面积。
  
  分析与解:从图中可以看出:阴影部分面积等于扇形ADE的面积减去空白部分AFCD的面积。AFCD是一个不规则的图形,它的面积无法直接求出,可以用长方形ABCD的面积减去扇形ABF的面积得出。空白部分AFCD的面积为:6×4-3.14×42×=11.44(平方厘米),阴影部分的面积为:3.14×62×-11.44=16.82(平方厘米)。
  练一练8:如图21所示,已知正方形ABCD的边长是8分米,求阴影部分的面积。
  
  
  九、比例法
  比例法是指根据几何图形中相关联的量之间的正、反比例关系求出面积的方法。
  例9如图22,在梯形ABCD中,BC=2AD,BF=2EF,E是CD的中点。已知梯形ABCD的面积是72平方厘米,求阴影部分的面积。
  分析与解:在梯形ABCD中,三角形BCD与三角形ABD的高相等,底BC=2AD,所以三角形BCD与三角形ABD的面积比为2∶1,三角形BCD的面积为72÷(2+1)×2=48(平方厘米)。由于E是CD的中点,三角形BDE与三角形BCE的面积相等,三角形BDE的面积为48÷2=24(平方厘米)。又因为三角形BDF与三角形EDF的高相等,底BF=2EF,所以三角形BDF与三角形EDF的面积比为2∶1,三角形BDF的面积为24÷(2+1)×2=16(平方厘米)。
  练一练9: 如图23所示,平行四边形ABCD的面积是96平方分米,BE=2DE,AF=3DF,求三角形DEF的面积。
  
   十、方程法
   方程法是指通过设未知数列方程的方法,求出某条线段的值,然后再求出面积的方法。
  例10如图24,在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF,已知AB=3厘米,BC=4厘米,AC=5厘米,EG垂直于AC,且EG=0.3厘米。求正方形BDEF的面积。
  
  分析与解:如图25,连接AE、BE、CE。要求正方形BDEF的面积,一般要先求出其边长,根据题目中的条件,我们可以采用列方程的方法求出正方形边长。设正方形BDEF的边长为x厘米,根据S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC,可列方程为:3x×+4x×+5×0.3×=3×4×,解:x=1.5。正方形BDEF的面积为:1.5×1.5=2.25(平方厘米)。
  练一练10: 如图26所示,长方形ABCD的长是8分米,宽是6分米,BE=2AE,三角形ECG的面积18平方分米,OF的长是多少分米?

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  • 评论

    怎么看不见图呢?
     
     游客  2010-06-26 20:09:42   113.242.1.40

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