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十一、与计算有关的推理问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-10 :20:41  阅读( 43 )| 评论( 0 )

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十一、与计算有关的推理问题

  在推理问题中,还有一类与计算有关.解决这类问题通常要涉及到整数的性质、拆分,以及筛选与枚举等知识和方法.

例1 A、B、C、D、E五位运动员参加乒乓球循环赛.每盘比赛规定胜者得2分,负者得0分,已知比赛结果如下:

  (1)A与B并列第一名;

  (2)C是第三名;

  (3)D与E并列第四名.

  求C的得分.

分析与解 由于每一位选手参加每一场比赛,不是得0分,就是得2分,因此每位选手的总分一定是偶数.

  又由于共有5位选手参赛,所以每位选手赛4场,最高得分不会超过8分,因此C的得分只可能是0,2,4,6,8.

  由条件(1)知,A与B两人都不会全胜,这说明A与B的最高得分只能是6分.

  由条件(3)知,D与E两人不会全败,所以D与E的最低得分是2分.

  C的得分应介于2与6之间,且为偶数,所以C得4分.

例2 在一次射击练习中,甲、乙、丙三位战士各打了4发子弹,全都打中了靶子,其命中情况如下:

  (1)每人四发子弹所命中的环数各不相同;

  (2)每人四发子弹命中的总环数均为17环;

  (3)乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样,乙另两发命中的环数与丙其中两发一样;

  (4)甲与丙只有一发环数相同;

  (5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环.

  问甲与丙命中的相同环数是几环?

分析与解 根据(1)、(2)、(5)三个条件,可以列举出四个加数互不相同,且最大加数不超过7,总和为17的所有情况:

  1+3+6+7=17

  1+4+5+7=17

  2+3+5+7=17

  2+4+5+6=17

  再根据(3)、(4)两个条件不难看出,每人四发子弹的环数分别为:

  甲:1,3,6,7

  乙:2,3,5,7

  丙:2,4,5,6

  从上面分析可以看出,甲与丙的相同环数为6.

例3 某个家庭有四名家庭成员,他们的年龄各不相同,他们的年龄总和是129岁,而其中有三个人的年龄是平方数,若倒退15年,这四人中仍有三人的年龄是平方数,你知道他们各自的年龄吗?

分析与解 根据题意,四人中应有三人的年龄是15到129之间的平方数,所以应对15到129之间的平方数进行筛选.

  设四人的年龄分别为a2,b2,c2,d(a、b、c、d都是自然数),有

  a2+b2+c2+d=129

  且 a2>15,b2>15,c2>15,d≥15.

  因此,对于a2、b2、c2来说,有如下可能性:

  16,25,36,49,64,81,100,121.

  因为15年前仍有3人的年龄是平方数,所以在a2、b2、c2中至少有两个减去15后仍然是平方数,在上述8个平方数中,不难发现只有16-15=1和64-15=49符合条件,故a2=16,b2=64.

  此时C2+d=129-(16+64)=49,将49分解成两个都大于15,且其中之一为平方数的自然数,只有C2=25,d=24,这时d在15年前是9岁,恰好是平方数,符合条件.

  由此可知,四人的年龄分别为16岁、24岁、25岁和64岁.

  在例2和例3的解题过程中,我们实际上用到了枚举与筛选的思想方法.枚举与筛选就是将问题分为不重复、不遗漏的有限种情况,然后对各种情况一一枚举逐个检验,淘汰非解,最终达到解决整个问题的目的.枚举与筛选是数学中一种重要的解题方法.

例4 某次考试中,试题共有六道,均为是非题.考生认为正确的就填“+”,认为错误的就填“-”.记分的方法是:每题答对的得2分,不答的得1分,答错的得0分.已知:赵、钱、孙、李、周、吴、郑七人的答案及前六人的得分记录如下表所示,请计算姓郑的得分.



分析与解 从题设中看出,已知6个人的成绩中,每人都有答对、答错的题目.由于不答得1分,答错得0分,答对得2分,而且每人都有1题没答,因此最多应得11分,最少应得1分,根据6人的得分,可知周答对4题、答错1题,吴和赵分别答对3题、答错2题,钱、孙、李分别答对2题、答错3题.由于周只答错1题,因此我们从周入手,进行讨论:

  (1)假设周第一题错,则第二、三、四、六题对,但此时赵无法得到7分,矛盾.

  (2)假设周第二题错,则第一、三、四、六题对,但此时赵也无法得到7分,矛盾.

  (3)假设周第三题错,则第一、二、四、六题对,但此时吴无法得到7分,矛盾.

  (4)假设周第四题错,则第一、二、三、六题对,此时第5题若填“+”,则赵、吴都可得到7分,钱、孙、李可得5分,由此推出郑得8分.若第5题填“-”,则没有符合条件的解.

  (5)假设周第六题错,则第一、二、三、四题对,但此时吴无法得到7分,矛盾.

  综上所述,只有(4)满足条件,郑得8分.

例5 一次国际象棋比赛,有十名选手参加,每名选手都要和其他所有的选手比赛一次,选手们所得的分数全不一样.已知:

  (1)第一名选手和第二名选手一次都没有输;

  (2)前二名的总分比第三名选手多10分;

  (3)第四名选手与最后四名选手所得分的总和相等.

  请问:从第一名到第六名选手,每人各得多少分?(获胜得1分,平局得0.5分,否则不得分)

分析与解 因为每个选手都要和其他选手比赛,所以第一名最多得9分,由条件(1)知,第一名与第二名的比赛是平局,因此第一名最多只能得8.5分,而第二名最多得8分.此时,由条件(2)知,第三名得8.5+8-10=6.5(分).

  现在分析最后四名选手的分数和.因为这四名选手之间有6场比赛,每场比赛都产生1分,所以这6场比赛后得的分数之和为6.因此最后四名选手的总分至少是6分.由条件(3)知,第四名选手至少得6分.

  因为第三名至多得6.5分,所以第四名只能得6分.而前三名的得分也随之确定,分别为8.5分、8分、6.5分.

  因为十名选手之间进行的比赛共为:

  9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(场)

  所以总分为45分.因此第五、六名的分数和为:

  45-(8.5+8+6.5+6+6)=10(分)

  此时,只能第五名得5.5分,第六名得4.5分.

  因此,前六名选手的得分分别为:8.5分,8分,6.5分,6分,5.5分,4.5分.

  通过上面几个例题可以看出,解答逻辑推理问题无一定的格式,解题方法也多种多样.这就需要同学们积极开动脑筋,深刻理解题意,周密思考,善于发现比较隐蔽的条件,同时推理过程要条理清楚,结构严谨.经常思考一些这样的问题,你会变得越来越聪明.


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