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十二、双人对弈


   作者:蓝忠诚 发表时间-10 :6:1  阅读( 31 )| 评论( 0 )

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十二、双人对弈

  在对抗性的游戏中,人人都想取胜,如果你能利用数学中的原理和方法,正确、合理地选择“作战”策略,那么你就能在一些“双人对弈”的游戏中,立于不败之地,做一名“常胜将军”.

例1 两人轮流报数,但报出的数只能是1至8的自然数,同时把所报数一一累加起来,谁先使这个累加和达到80,谁就获胜.问怎样才能确保获胜?

分析与解 这个问题可以倒着想,要想使总和达到80,应该最后给对方留下多少个数呢?由于每个人报的数最大是8,最小是1,因此对方最后一次报完数后,总和最大是79,最小是72,所以最后一次应该给对方留下9个数,也就是说要先达到80,就必须先达到71.如何抢到71这个数呢?采用同样的分析方法可知,应先达到62,依此类推,可以得到每次报数应占领的“制高点”是:80,71,62,53,44,35,26,17,8.因此获胜的策略是:

  (1)先报8;

  (2)每次对方报a(1≤a≤8),你就报9-a.这样,每次你都能占领一个“制高点”,以确保获胜.

  当然,如果对方一定要先报数,那么你可以利用对方不懂得这个秘诀的条件,去占领下一个“制高点”,从而确保获胜.

  这个游戏还可以以其他的形式出现,比如:

  (1)1998个空格排成一排,第一格中放有一枚棋子,现有两人做游戏,轮流移动棋子,每人每次可前移1格、2格、3格或4格.谁先移到最后一格,谁为胜者.问怎样的移法才能确保获胜?

  (2)桌面上放着54张扑克牌,两人轮流从中取走1张、2张或3张,取了最后一张者输.问应怎样取,才能确保获胜?

  想一想:该如何制定“作战”策略呢?

例2 桌上有一块金帝牌巧克力,它被直线划分成3×7个小方块,如下图.现有两人轮流切巧克力,规则是:



  (1)每次只许沿一条直线把巧克力切成两块;

  (2)拿走其中一块,把另一块留给对方再切;

  (3)谁能留给对方恰好一个小方块,谁就获胜.问如何取胜?

分析与解 采用倒推法,从最后的结局看,要想获胜,有两种情况:

  (1)你面对的是2×1个小方格,你只须沿直线切掉1个小方块,就可获胜;

  (2)你面对的是3×1个小方格,你只须沿直线切掉2个小方块,也可获胜.

  那么如何才能迫使对方给你留下上述两种格局呢?

  我们将上面的两种巧克力分别扩大一列,得到2×2和3×2个小方块.

  如果你面对2×2个小方块,无论你怎样切,都会给对方留下2×1个小方块而失败.

  如果你面对3×2个小方块,只须沿着短边切掉2个小方块,你就会留下2×2个小方格给对方而获胜.

  因此为了得到3×2个小方块,你必须给对方留下3×3个小方块,使得对方无论怎样切,只能留下①3×1个小方块;②3×2个小方块.而这两种情况对于你来讲,都有办法获胜.

  因此,必胜的策略是:

  (1)先切掉3×4个小方块,给对方留下一个3×3的“井字格”;

  (2)如果对方切掉3×2个小方块,留3×1个小方块给你,那么你只须再切掉2×1个小方块而获胜;

  (3)如果对方切掉3×1个小方块,留3×2个小方块给你,那么你同样再切掉2×1个小方块,给对方一个2×2的“田字格”.这时无论对方怎样切,你都是稳操胜券了.

  通过对例2的讨论,我们可以将其推广到一般形式(规则同上):

  (1)如果有m×n(m<n,m、n都是自然数)个小方块,那么先切者获胜.切法如下:

  ①第一刀给对方留下m×m个小方格;

  ②每次无论对方怎样切,都要保证给对方留下k×k(k<m,k是自然数)个小方格,直到最后胜利.

  (2)如果有m×m(m是自然数)个小方格,那么后切者获胜.切法同(1)中的第②个步骤.

例3 有两堆火柴,两人轮流从其中任意一堆中取出1根或几根,每次至少要取出1根,而且不能同时从两堆里取,谁最后把火柴取完,谁就获胜,问如何能确保获胜?

分析与解 先考虑最简单的特殊情况:

  (1)如果两堆火柴都只有1根,当然后取者必胜;

  (2)如果两堆火柴是一堆1根,一堆2根,即(1,2),这时可以看出先取者必胜.因为先取者从2根一堆的火柴中取走1根,给对方留下(1,1),成为第(1)种情况即可取胜;

  (3)如果两堆火柴是(2,2),若先取者从一堆中取走1根,给对方留下(1,2),成为第(2)种情况必败;若先取者从一堆中取走2根,给对方留下(0,2),也必败.

  从上面的讨论中,可以发现两点:第一,如果两堆火柴的根数相等,先取者必败,因为这时不管先取者从一堆中取走几根火柴,后取者都可以相应地在另一堆中也取走相同根数的火柴,总保持给先取者留下相同根数的两堆火柴,以至最后留下(1,1)而获胜.第二,如果两堆火柴的根数不等,则先取者在多的一堆中,取走两堆相差的火柴根数,给对方留下根数相等的两堆火柴,以确保获胜.

  因此,必胜的策略是:

  (1)若两堆火柴的根数相等,则采取下列措施:

  ①让对方先取;

  ②每次对方在一堆中取走几根火柴,你就在另一堆中也取走几根火柴.

  这样,最后的一根火柴一定是你取走.

  (2)若两堆火柴的根数不等,则采取下列措施:

  ①先从多的一堆中取走两堆相差的火柴根数,给对方留下数量相等的两堆火柴;

  ②按照(1)的方法取胜.

  这里用到的数学原理是数学对称.由于两堆火柴数相同的形式是一种对称形式,而两堆火柴数不同的形式是一种不对称形式,因此你每次取火柴后,两堆火柴都呈现对称形式,而对方每次取火柴后,两堆火柴都是不对称形式.故最后的对称形式(两堆火柴数均为零)必由你取得.

  实际上,例2的解答也利用了对称原理.你要想获胜,就始终保持每次给对方留下m×m(m是自然数)的对称形式,而对方只能给你留下m×n(m>n,m、n是自然数)的不对称形式,以至最后的对称形式(0×0)是你留下的.

例4 有三堆火柴,根数分别为1根、2根、3根,两人轮流从中取火柴,每人每次取几根不限,但只能从一堆中取,拿完最后1根者为胜.问如何取胜?

分析与解 借助例3的结论来解决.

  先取者第一次取火柴时,有下面三种可能:

  (1)将某一堆中的火柴全部取走,留下两堆根数不等的火柴,那么后取者获胜.

  (2)在根数为2的一堆中取走1根,这时后取者可将根数为3的一堆火柴全部取走,留下(1,1,0),后取者必胜.

  (3)在根数为3的一堆中取走1根或2根,这时后取者都可适当地全部取走另两堆中的某一堆火柴,留下(0,2,2)或(1,0,1),后取者必胜.

  综上所述,后取者必胜.方法如(1)、(2)、(3).

  通过上面的几个例题我们看到,利用“倒着想”去寻找获胜策略是许多斗智游戏中常用的方法.


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