三、数字问题

11月
29	2019

作者：蓝忠诚发表时间-11 :29:20 阅读( 25 )| 评论( 0 )

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三、数字问题

　　本讲将介绍有关数字的一些问题。

例1 一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？

分析与解 要想求出在这本书的页码中数字1出现多少次，先要求出这本书共有多少页.已知印刷时必须用1989个铅字，又已知页码为一位数共有9页，页码为两位数共有90页，页码为三位数共有900页，就可求出这本书共有多少页.又因为每连续10个数，在个位上就出现一次1，再根据所求页数就可解答此题。

　　页码为一位数共有9页，用9个铅字；

　　页码为二位数共有90页，用180个铅字；

　　页码为三位数，还需1989-180-9=1800（个）铅字，因此还需印1800÷3=600（页）。

　　这样，本书共有600+90+9=699（页）。

　　因为每连续10个数，在个位上就出现一次1，所以个位上出现1的数共有700÷10=70（次）；

　　十位上出现1的数每100个有10个，共有700÷100×10=70（次）；

　　百位上出现1的数有100个，这样总共出现1的次数是70+70+100=240（次）。

　　答：在这本书的页码中数字1出现240次。

例2 把23个数：3，33，333，…，

相加，则所得的和的末四位数是多少？

容易了。

　　根据等比数列前n项和公式可知

　　=370370…037037-8

　　=370370…037029

　　因此S的末四位数字是7029。

例3 自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第20个弯的地方是哪个数？

分析与解 观察正方形数字阵，先将拐弯处的数从小到大排列起来：2，3，5，7，10，13，17，21，26，….仔细观察这些数：第一个数是起点1加1，第二个数是第一个数加1，第三个数

　　是第二个数加2，第四个数是第三个数加2，后面的四个数都可以用各自前面的那个数分别经过加3、加3、加4、加4得到，由此推想出，再往后就要加5、加5、加6、加6，…，可以发现一个规律：

　　求第二个拐弯处的数：1+1×2；

　　求第四个拐弯处的数：1+（1+2）×2；

　　求第六个拐弯处的数：1+（1+2+3）×2；

　　经分析、归纳可知，当拐弯数是偶数时，此拐弯处的数为1与从1开始的连续自然数的和的2倍的和，而连续自然数的个数（或者说最后一个数）正好是弯数的一半，用公式表示为：设拐弯数是n，则拐弯处

　　因此第20个拐弯处的数应该是：

　　1+（1+2+3+4+5+…+10）×2=111.

　　注：若此题求拐第m个弯的地方是哪一个数（m为奇数）？做起来就不那么容易了，先求出拐第（m-1）个弯的地方的数（m-1为偶数），

例4 有一种用六位数表示日期的方法，如：890817表示的是1989年8月17日，也就是从左到右第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日，如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有多少天？

分析与解 解此题最好的方法是用排除法。

　　根据题意，第三位已不能是1，只能是0，第五位不能是1和0，也不能是3，否则第六位将是0和1，因此第五位只能是2，那么六个数字都不相同的日期只能是3、4、5、6、7、8六个月中的23、24、25、26、27、28这6天中的5天，因此，共有30天。

　　答：全年中六个数字都不相同的日期共有30天。

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