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十二、 面积解题


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :58:38  阅读( 66 )| 评论( 0 )

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十二、 面积解题

  “面积”是平面图形的重要属性之一.图形间的面积关系是平面几何的研究内容之一,也是我们解决有关数学问题(不仅仅局限于几何问题)的一种重要的思想方法。

  我们先把图形间的面积关系与图形的其他几何性质之间的联系复习一下:

  1.基本公式:

  

  2.基本性质

  (1)等底等高的两个三角形面积相同;

  (2)等底的两个三角形面积之比等于高之比;

  (3)等高的两个三角形面积之比等于底之比。

  3.基本思想

  (1)面积计算中的割补思想。

  (2)利用面积关系解代数问题中的构造思想。

  利用“面积解题”可以解决某些关于线段成比例的问题,如线段的中点;也可以解决某些代数问题。

  (一)利用面积关系解答代数问题。

  

  证明 若a=b,则上式取等号,不等式成立;

  若a≠b,将a、b看成线段的长度,构造相应的线段,将代数式

  

  看成相应图形的面积,从而利用面积的大小关系来说明这两个代数式的大小关系。



  如图1,以a、b为边长作正方形ABCD和BEFG,连结EG、AC,延长AC交EG于M,那么由于∠MAE=∠MEA=45°,所以∠AME=90°,

  

  综合上述两种情况,有:

  

  (二)利用面积关系解答几何问题

例2 求证三角形三条中线交于一点。

分析与证明 三角形三条中线交于一点有多种证法,比如和用平行线的性质和判定定理可以将它证明.那么,我们看看用“面积解题”,是否可以证明。



  如图2,对于△ABC,AD、BE分别是BC、AC边上的中线,交点记为G,连结CG并延长,交AB于F,需证明F为AB中点,从而说明三中线交于一点G。

  要证明F为AB中点,只需证明AF=FB.又△AGC与△BGC的面积比为AF∶FB,所以需证明△AGC与△BGC面积相同.

  由已知,D为BC中点,所以△ABG与△ACG面积相同,又E为AC中点,所以△ABG与△CBG面积相同,故此,S△ACG=S△ABG=S△CBG所以 S△ACG=S△CBG

  证明完毕。

  我们小结一下,第一,用面积关系解答代数问题时,根据条件和结论的特点,构造几何图形,使得条件、结论中的各个事项相应变为线段的长度和图形的面积,从而根据图形的特点探求面积间的关系,以证明结论的正确。

  第二,利用面积解几何题,先根据已知条件结合图形特点探求其中的面积关系,再转化为结论所需的面积关系,从而解决问题。

  (三)计算面积及面积比

例3 如图3,△ABC的面积为1平方厘米,DC=2BD,AE=3ED,求△ACE的面积。



分析与解 由图知,△ABD和△ADC是共高三角形,根据“等高的两个三角形面积之比为底之比”,有:

  

  由上两式,有:

  

  

例4 如图4,求阴影部分的面积。

 

  

转90°可得四边形BFDH,所以,两个四边形AECG,BFDH全等,又有MNPQ为正方形。

  

  又 SBFDH=DF·MN=10

  

  

  

  。

例5 如图5,单位正方形ABCD,M为AD边上的中点,求图中的阴影部分面积。

  解 如图6,连结DG,有:S△ACM=S△BAM(同底等高),



  又S△BAG=S△ADG(△BAG与△ADG关于AC对称)

  又S△AGM=S△GDM(等底同高)

  

  

 

  另解:如图7,将△CMD绕M点旋转180°,得到△PMA,则AB=AP,CM=MP.连结PG,则:



  S△ABG=S△AGP(等底同高)

  S△CMG=S△PMG(等底同高)

  又由已知S△ABG=S△CMG

  所以,这四个三角形面积相等。

  


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