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二、圆柱和圆锥


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :16:35  阅读( 12 )| 评论( 0 )

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二、圆柱和圆锥

  在我们的日常生活和生产实际中,经常遇到与圆柱和圆锥有关的物体,而很多问题的解决又都与圆柱和圆锥的体积及表面积的计算有密切的关系,认清物体的结构特征及圆柱和圆锥的有关基本数量关系,是迅速、准确解决问题的关键。

  有关基本数量关系:

  

例1 比较甲、乙两只容器中,哪一只容器中盛的水多,多的是少的几倍?(单位:厘米)

  (1)容器如图1所示;



  (2)甲、乙两容器相同(如图2),甲容器中水的高度是锥高的




分析与解 (1)要想知道甲、乙两只容器哪一只盛的水多,我们只需依据条件分别计算一下甲、乙两只容器的容积各是多少,即可做出比较。

  

  通过计算可知,乙容器装的水多,乙容器是甲容器容积的(4000π÷2000π=) 2倍。

  (2)我们先分别将两容器内水的体积进行计算。

  设圆锥的底面半径为r,高为h,则甲容器及乙容器中的水面半径

  

  由此可知,甲容器中的水多,甲容器中的水是乙容器中的水


例2 将一个棱长是20厘米的正方体,旋成一个圆柱体,并且使圆柱体的体积最大,求此时旋去的那部分体积。



分析与解 要想知道旋去的那部分体积,我们应首先认识清楚,怎样才能使旋成的圆柱体体积最大?通过分析可以发现,当我们所旋成的圆柱体的底面直径和高均为20厘米时,圆柱的体积最大.即如图3去旋.此时,我们只需计算出正方体的体积及所得到的圆柱体的体积,其差就是所旋去部分的体积。

  

  即:旋去的部分的体积约为1720立方厘米。

例3 如图4中所示图形是一个底面直径是20厘米的装有一部分水的圆柱形容器,水中放着一个底面直径为12厘米,高为10厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,容器中的水下降了几厘米?



分析与解 因为玻璃容器是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃容器的底面一样,是一直径为20厘米的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积.这个小圆柱的高就是水面下降的高度。

  因为铅锤的体积为:

  

  设水面下降的高度为x厘米,则小圆柱的体积为:

  V2=π×(20÷2)2×x=100πx(立方厘米)

  根据小圆柱的体积等于铅锤的体积有:

  120π=100π·x解此方程得:

  x=1.2(厘米)

  即:铅锤取出后,容器中的水面下降了1.2厘米。

例4 横截面直径为20厘米的一根圆钢,截成两段后,两段表面积的和为7536平方厘米,求原来那根圆钢的体积是多少(π=3.14)?

分析与解 根据圆柱体的体积公式,体积等于底面积乘以高.由于底面直径已经知道,故只需依据条件求出圆钢的长度.假设圆钢长为x厘米,由于将圆钢截成两段后,两段表面积的和等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积,所以有下面的式子:

  2π×(20÷2)×x+4π×(20÷2)2=20πx+400π

  依据题中给出的已知条件,可得方程:

  20πx+400π=7536

  解方程:

  

  圆钢的体积为:

  π×(20÷2)2×100≈31400(立方厘米)

  答:原来那根圆钢的体积约为31400立方厘米。

例5 把一块长30厘米,宽20厘米,高5厘米的长方形铝锭,和一底面周长为37.68(厘米),高30厘米的圆柱形铝块,熔铸成一底面圆半径为13厘米的圆锥体铝块,求这个圆锥体铝块的高是多少?(π=3.14)

分析与解 要想求出最终所得圆锥体的高度,只要能确定其体积就可办到.而圆锥体是用两个不同形状的几何体熔铸而成的,故其体积就等于长方体的体积与圆柱体体积的和.而长方体的长、宽、高,圆柱体的底面周长和高都是已知的,所以长方体的体积及圆柱体的体积是可计算的。

  长方体铝锭的体积为:

  30×20×5=3000(立方厘米)

  圆柱体的体积为:

  

  根据题中所述,圆锥体的体积等于长方体体积与圆柱体体积的和,列方程得

  

  解得: x≈36.14(厘米)

  答:这个圆锥体铝块的高为36.14厘米。

例6 用一块长30厘米,宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面,再用另一块铁皮做底,怎样做才能使这个圆柱形容器的容积最大?

分析与解 我们要回答上述问题,实际上只需考虑两个方面,即以长方形的长做为圆柱形容器的高,还是以长方形的宽做为圆柱形容器的高?比较两种情况下圆柱形容器的体积,即可确定方案。

  若以长方形的长为高,则长方形的宽即为圆柱形容器的底面周形,所以圆柱形容器的底面半径为:

  

  此时容器的容积为:

  

  若以长方形的宽为高,则长方形的长即为圆柱形容器的底面周长,此时,圆柱形容器的底面半径为:

  

  通过上述计算,我们可以知道,用长方形较短的一边做为圆柱形容器的高时,圆柱形容器的容积大。

例7 一车工用一段长30厘米,直径为8厘米的圆钢,车一个如图5所示的零件,这个零件的表面积是多少?



分析与解 观察这个零件的结构特征.我们可以发现,这个零件由三部分构成,中间是一个底面半径为4厘米,高为20厘米的圆柱,两边分别为底面半径为4厘米,高为4厘米和底面半径为4厘米,高为6厘米的圆锥,其表面积是圆柱和两个圆锥侧面积的和.故,我们只要分别计算出圆柱及两个圆锥的侧面积,然后求和。

  圆柱的侧面积为:

  2π×4×20=160π(平方厘米)≈502.4(平方厘米)

  左边圆锥的侧面积为:

  

  右边圆锥的侧面积为:

  

  所以此零件的表面积为:

  70.8+502.4+90.8≈664(平方厘米)

  答:这个零件的表面积为664平方厘米。


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