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三、计数法


   作者:蓝忠诚 发表时间-14 :58:41  阅读( 9 )| 评论( 0 )

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三、计数法

  计数问题是我们经常遇到的一类问题.学会和掌握计数问题的方法,可以使我们方便快捷、准确无误地得到我们所要求出的正确结果.本篇将向同学们介绍解决计数问题的枚举法、加法原理和乘法原理。

  (一)枚举法

  枚举就是将要计数的对象一一列举出来,做到不重不漏,最后计算出所列举的总数目.应用枚举法时,往往需要遵循某种规律,或者说是采取某种规则,避免“东举一个,西举一个”,造成不必要的麻烦。

例1 平面上有16个点,如图1,点与点之间横向与纵向的距离都是一个单位.问通过这些点能够连出多少个正方形?



分析与解 这道题看起来很简单,可能有一些同学马上开始用笔去画,然后很快得到结果,但你的结果不一定是正确的.这是因为你没正确使用计数方法.现在请同学们和我们一起来解这个问题。

  我们采用枚举法,把一切可能的情况都列举出来.图中一共有16个点,用4个点能连成的正方形有9个.即这9个正方形只含4个点,正方形内没有其他点.现在我们看一看含5个点的正方形有没有?所谓含5个点的正方形也就是正方形内应含一个点.其余4个点是正方形的4个顶点.显然这样的正方形共有4个(如图2).顺着这种思路,我们依次考虑,可以得到:含有8个点的正方形有2个(如图3),含有9个点的正方形有4个,含16个点的正方形有1个,这样一共可以连出20个正方形。

例2 用1、2、3三种数字可以组成多少种三位数?



分析与解 根据题意,三位数的百位有三种情况;当百位确定后,十位又有三种情况;十位确定后,个位又有三种情况.我们可以根据下图将所有的三位数都写出来.



  组成的三位数有:

  111,112,113,121,122,123,131,132,133,211,212,213,221,222,223,231,232,233,311,312,313,321,322,323,331,332,333。

  即由1、2、3三种数字可以组成27种三位数。

  应用枚举法,所得的结果完整、直观,一目了然.但也有其缺点,即对于数目较大的题,很难一一列举,给我们的解题带来很大难度。

  像例2这样的问题,我们还有另外一种比较简捷的解法.由题意可知,百位上有三种可能,也就是说可以填写1、2、3三种数字,同理,在十位和个位也都有三种可能,则这样的三位数共有3×3×3=27种。

  这种方法是应用了组合数学中的乘法原理.现在我们就来介绍乘法原理。

  (二)乘法原理

乘法原理 做一件事,若完成它需要有n个步骤,而第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,……,第n步有mn种方法.则完成这件事共有:

  N = m1×m2×…×mn

  种不同的方法。

  在例2中,用1、2、3三种数字组成三位数,可以看成是填写百位数字、填写十位数字和填写个位数三步完成.第一步填写百位数字共有三种方法,即可填写1,也可填写2,又可填写3;第二步填写十位数字也有三种方法;第三步填写个位数字还是三种方法,故“完成这件事”共有N=3×3×3=27种方法。

例3 在2×3的方格棋盘上,如图4所示,每个小方格中放一枚围棋子(围棋子有黑白两种颜色),则可以得到多少种不同的放法?



分析与解 要在2×3的方格棋盘上放入棋子共有六步,即在每一个小方格上放一枚棋子为一步.根据题意,每一步显然都有两种方法(要么放一枚黑棋子,要么放一枚白棋子),则由乘法原理,n=6,m1=m2=m3=m4=m5=m6=2,所以将棋子放入2×3的方格棋盘上共有:

  N=2×2×2×2×2×2=64

  种不同的放法。

  在应用乘法原理时,要注意乘法原理的条件,“n个步骤”缺一不可,缺少了哪一步都不能“完成这件事”。

  (三)加法原理

  还有一类计数问题,它不满足乘法原理的条件.例如:某旅游团要从北京到天津,他们可以坐火车,也可以乘汽车,还可以乘飞机.若他们决定某天出发,而这一天有4班火车,2班汽车和1班飞机可到天津.问旅游团在这一天由北京出发到天津可以有多少种不同的走法?显然若他们乘火车可以有4种选择,若他们乘汽车可以有2种选择,另外他们还可以乘飞机,即他们一共有4+2+1=7种不同的走法。

  这种计数问题的特点是:要做一件事共有n类办法,每一类办法又有一些不同的方法,但不论是采用哪一类办法中的哪一种方法都可以完成这件事,也就是说任何一种方法都可以独立完成这件事。

  加法原理 做一件事,若完成它可以有n类办法,而第一类办法中有m1种方法,第二类办法中有m2种方法,……,第n类办法中有mn种方法.则完成这件事共有

  N = m1+m2+…+mn

  种不同的方法。

例4 图书室的书架上摆放着各种图书,其中有故事书120册,有科学幻想小说16册,英语故事10册,画报40册,连环画80册.一位学生要在这些图书中借一册,他有多少种不同的借阅方法?

分析与解 题目告诉我们,一位学生到图书室借阅一册图书,他可以有五类选择办法,第一类故事书,他有120种选择方法;第二类科学幻想小说,他有16种选择方法;第三类英语故事,他有10种选择方法;第四类画报,他有40种选择方法,第五类连环画,他有80种选择方法。

  由加法原理,n=5,m1=120,m2=16,m3=10,m4=40,m5=80。

  所以,该学生一共有

  N=120+16+10+40+80

  =266

  种不同的借阅方法.

  以上我们分别介绍了“乘法原理”和“加法原理”两种计数方法,并分别举出了应用这两个原理计数的例子.但在实际问题中,往往需要同时应用这两个原理,这就需要同学们搞清题意,根据已知条件,分别正确的使用这两个计数原理,准确的得到结果。

例5 某公园有两个园门,一个东门,一个西门.若从东门入园,有两条道路通向龙凤亭,从龙凤亭有一条道路通向园中园,从园中园又有两条道路通向西门.另外,从东门有一条道路通向游乐场,从游乐场有两条道路通向水上世界,另有一条道路通向园中园.从水上世界有一条道路通向西门,另有一条道路通向小山亭,从小山亭有一条道路通向西门.问若从东门入园,从西门出园一共有多少种不同的走法(不走重复路线)?

分析与解 这个题的已知条件比较复杂.首先让我们将已知条件“梳理”一下:

  1.从东门入园,从西门出园;

  2.从东门入园后,可以通向两个游览区,龙凤亭与游乐场;

  3.从龙凤亭经园中园可达到西门;

  4.从游乐场经水上世界可达到西门,或从游乐场经园中园可达到西门;

  5.从水上世界经小山亭可达到西门;

  根据以上五条可知,从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线.而东门到龙凤亭有两条不同路线;龙凤亭到园中园只有一条路线;园中园到西门又有两条不同的路线.由乘法原理,这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法。

  再看从东门入园后到游乐场的路线.从东门到游乐场只有一条路,由游乐场分成两种路线,一是经园中园到西门,这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法;二是经水上世界到西门,从水上世界到西门共有两条路线(由水上世界直接到西门和经小山亭到西门),再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线。

  最后由加法原理,从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有

  2×1×2+1×1×2+1×2×2=10

  种。

  这道题也可用“枚举法”来解。

  我们可以先画出一个图(图5),从图上便可以得出正确的答案。



  图中A表示东门,B表示西门,C表示龙凤亭,D表示园中园,E表示游乐场,F表示水上世界,G表示小山亭,线表示道路。

  不同的走法有:



  即共有10种不同走法.


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