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第十三讲 关于个位数字与完全平方数(之一)


   作者:蓝忠诚 发表时间-12 :49:43  阅读( 13 )| 评论( 0 )

第十三讲 关于个位数字与完全平方数(之一)

  在整数的各种问题中,确定个位数字是十分重要的。下面我们专门讨论整数乘方的个位数字。

一、整数乘方的个位数字

  整数的个位数字只有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十种。下面我们列出表格,看一看经过不同次数的乘方之后,个位数字如何变化。

  a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  a2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

  a3 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

  a4 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1

  a5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  …………

  从表中可以看出:

  (1)平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9,而不可能是2,3,7,8。

  (2)三次方的个位数字从0,1到9都有可能。

  (3)四次方的个位数字只可能是0,1,6,5,不可能是2,3,4,7,8,9。

  (4)五次方的个位数字与一次方的个位数字完全相同。于是,六次方的个位数字与二次方的个位数字完全相同;七次方的个位数字与三次方的个位数字完全相同;八次方的个位数字与四次方的个位数字完全相同。

  不难看出:

  a1,a5,a9,……的个位数字相同;

  a2,a6,a10,……的个位数字相同;

  a3,a7,a11,……的个位数字相同;

  a4,a8,a12,……的个位数字相同。

  (5)个位为0,1,5,6的数无论多少次乘方,其个位数字保持不变。

例1 求31993+41995+51995的末位数字

分析:只要分别求出31993,41994,51995的个位数字,再相加即可求出31993+41994+51995的个位数学

解:∵51995的个位数字为5,

  从各个数字乘方后的个位数字表中可以看到,4的奇次方的个位数字为4,偶次方的个位数字为6,∴41994的个位数字为6;

  又34k+1的个位数字为3,34k+2的个位数字为9,34k+3的个位数字为7,34k的个位数字为1,而1993=4×498+1,∴31993的个位数字与31的个位数字相同。

  故31993+41994+51995的个位数字与3+6+5=14的个位数字相同,即31993+41994+51995的个位数字为4。

例2 从1,1,3,3,5,5,7,7,9,9中取出5个数,其中至少有三个数不重复,且它们的乘积的个位数字是1。问这5个数的和应是多少?

分析与解:要求取出的5个数乘积的个位数字是1,显然所取的5个数中不能有数字5,只能从1,3,7,9中取,由于要求至少有三个数不重复,那么只能有一个数重复取两次。

  即只可能有1×1×3×7×9,1×3×3×7×9,1×3×7×7×9,1×3×7×9×9四种情形。

  经检验上述四个乘积的个位数字分别为9,7,3,l。

  故所取的五个数为1,3,7,9,9。

  这五个数的和为29。

例3 我们把从1开始若干个自然数的连乘积用简单的符号表示,如

  1×2×3×4×5记作5!,读作5的阶乘;

  1×2×3×……×100记作100!,读作100的阶乘;

  1×2×3×……×n,1记作n!,读作n的阶乘。

  求N=1!+2!+3!+……+1992!+1993!的个位数字。

分析:只要将1!,2!,3!,……,1992!,1993!的个位数字一一求出后相加,就可得出各个阶乘的和的个位数字。

  但要求出各个阶乘的个位数字,需计算1993项,且每一项几乎都是一大串数字之积,工作量是否会太大?

解:∵1!=1,

  2!=1×2=2,

  3!=1×2×3=6,

  4!=1×2×3×4=24,

  5!=1×2×3×4×5=120,

  可以看出6!直至1993!的个位数字都是0。

  因此,N=1!+2!+3!+4!+5!+……+1993!的个位数字就是1+2+6+24+0+……+0的个位数字。

  即N的个位数字为3。

例4 求14+24+34+……+19924+19934的个位数字。

分析与解:1,2,3,……,1992,1993,这些数的个位数字不过是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0。其四次方的个位数字依次为1,6,1,6,5,6,1,6,1,0,……。

  前十个数字和为1+6+1+6+5+6+1+6+1+0=33,个位数字为3。

  这样就可将14+24+34+44+……+19924+19934分为十项一组,每组的个位数字均为3。

  即(14+24+34+……+104)+(114+124+134+…+204)+…+(19814+19824+19834+…+19904)+19914+19924+19934

  前1990项的和的个位数字与3×199的个位数字相同,即为7。而19914的个位数字为1,19924的个位数字为6,19934的个位数字为1。

  所以14+24+……+19924+19934的个位数字与7+1+6+1=15的个位数字相同,即为5。

  下面我们来研究两个相邻的自然数乘积的个位数字。

二、相邻自然数乘积的个位数字

  由于仅考虑个位数字,相邻的自然数之积1×2=2,2×3=6,3×4=12,4×5=20,5×6=30,6×7=42,7×8=56,8×9=72,9×10=90,10×11=110的个位数字只可能是0,2,6三种。

  因此,若一个自然数的个位数字不是0,2,6,那么,这个自然数不可能是两个相邻自然数的乘积。

例5 是否存在自然数n,使得n2+n+7是35的倍数?

分析与解:分别取n=1,2,3,4,5,依次得到n2+n+7的值为9,13,19,27,37,显然它们都不是35的倍数。但是这样一个个试下去,即使试到n=100,n2+n+7都不是35的倍数,也不能说不存在自然数n,使得n2+n+7为35的倍数。因为自然数有无穷多个,不可能每个都试到。

  注意到n2+n=n×(n+1)是两个相邻自然数的乘积,n2+n=n×(n+1)的个位数字只可能是0,2,6,所以n2+n+7的个位数字只可能是7,9,3。

  由于个位数字是7,9,3的自然数不可能是5的倍数,当然更不可能是35的倍数。

例6 不论n是怎么样的自然数,3×(5n+1)都不可能是两个连续自然数的乘积。

解:由于5的任何次方的个位数字总是5,5n+1的个位数字为6,3×(5n+1)的个位数字是8。

  而相邻的两个自然数的乘积的个位数字只能是0,2,6。

  故3×(5n+1)不可能是两个连续自然数的乘积。

例7 若n!+4是两个相邻自然数的乘积,你能找出所有这种自然数n吗?

分析:要想成为两个相邻自然数的乘积,至少其个位数字应为0,2,6之一。

  我们已经知道5!=120,个位数字为0,当n大于5时,n!的个位数字都是0,此时n!+4的个位数字为4,故这时n!+4不可能是相邻自然数的乘积。

  于是只要对n≤4的自然数分别讨论n!+4即可。

  当n=1时,11+4=5;

  当n=2时,2!+4=6;

  当n=3时,3!+4=10;

  当n=4时,4!+4=28。

  由于10,28都无法表为两个相邻自然数的乘积。

  而6=2×3,所以,只有当n=2时,n!+4是两个相邻自然数的乘积。



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