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第十三讲 关于个位数字与完全平方数(之二)


   作者:蓝忠诚 发表时间-12 :51:26  阅读( 14 )| 评论( 0 )

第十三讲 关于个位数字与完全平方数(之二)

三、关于完全平方数

  我们已经知道,个位数字为2,3,7,8的自然数不可能是完全平方数。

  其实,一个整数是否为完全平方数,还可以用其它方法来判断。

  例如,我们可以将完全平方数逐个列出:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,……10000,……

  在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

  即如果n2<a<(n+1)2,那么a不是完全平方数,

  下面将给出完全平方数应满足的条件,若这些条件之一不满足,则决不可能是完全平方数。

  1.任何偶数的平方必为4的倍数,可表为4k形式;

  任何奇数的平方必为4的倍数加1,可表为4k+1形式;

  任何整数被4除,只有四种可能性,即余数为0,1,2,3。或者说整数只有4k,4k+1,4k+2,4k+3四种形式。

  显然形如4k+2,4k+3的整数不是完全平方数。

  2.(k为整数)任何整数被3除,只有三种可能性,即余数为0,1,2。或者说整数只有3k,3k+1,3k+2三种形式。

  形如3k的整数平方后仍是3的倍数;

  形如3k+1的整数平方后仍是3的倍数加1;

  形如3k+2的整数平方后必为3的倍数加1。

  即任何整数平方后只可能是3n或3n+1的形式。因此,形如3n+2的数不可能是完全平方数。

  3.(n,k为整数)任何整数被5除的余数有0,1,2,3,4共五种情形。

  形如5k的整数平方后仍是5的倍数;

  形如5k+1和5k+4的整数平方后必为5的倍数加1;

  形如5k+2,5k+3的整数,平方后必为5的倍数加4。

  所以任何整数平方后只可能是5n,5n+1,5n+4的形式。即形如5n+2,5n+3的数,不可能是完全平方数。(这就是说完全平方数个位数字不可能是2,3,7,8)。

  同理可知,形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7的数不是完全平方数;

  形如9n+2,9n+3,9n+5,9n+6,9n+8的数不是完全平方数。

  4.(n,足为整数)考察完全平方数的个位和十位上的数字。

  由42=16,62=36,82=64,102=100,122=144,

  52=25,72=49,92=81,112=121,132=169,

  可以发现:完全平方数个位数字是奇数时,其十位上的数字必为偶数。

  完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数(证明从略)。

例8 用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数?

分析:由300个2和若干个0组成的整数,其位数至少是301位,除首位为2外,各数位上都有可能是2和0。但不可能逐个检查。

  由于各数位上的数字和为600(这是所有由300个2和若干个0组成的数的共同特性),所以组成的整数一定能被3整除。但600并非32=9的倍数。

解:设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为600。

  ∵3|600, ∴3|A。

  

  即A中只有3这个约数,而无32=9作为约数,所以A不是完全平方数。

      却是奇数1。

  

  我们知道,奇数的平方必为4的倍数加1,即4k+1的形式。

  但4k+3形式的数不是完全平方数。

  

  从其个位为1可知,它必为10k+1或10k+9形式的数平方而得。   

  (1)式两边同除以10得

  显然,此式左边为偶数,右边为奇数,两边不相等。

    (2)式两边同除以10得:

  显然,此式左边为偶数,右边为奇数,两边不相等。

  



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