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第一讲 质数与合数(一)


   作者:蓝忠诚 发表时间-9 :40:12  阅读( 28 )| 评论( 0 )

第一讲 质数与合数(一)

  质数与合数概念是数学运算、算式化简以及分析一些数字问题时常用到的。

  如果一个比1大的自然数只有两个约数:1和本身,那么这个自然数就叫质数。质数也叫素数。例如:43=1×4343只有1和43两个约数,所以43是质数。100以内的质数是极为常用的,它们是

  2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

  在自然数中,如果除了1和本身两个约数,还有其它的约数,这个自然数就叫合数。例如:6的约数有1、2、3、6,那么6是合数。合数也叫复合数或合成数。应特别注意1既不是素数也不是合数。

例1 求出924的质数约数的和。

:我们要充分利用数字的整除特征,运用短除的形式,把924作质约数分解。

  924=11×2×2×3×7

  质约数有:11、2、3、7,其和为11+2+3+7=23。

例2 求出852的约数。

分析:我们首先可把852的质数约数求出来进而求出全部约数。注意:1,852也是约数。

:852=2×2×3×71

  约数有1,2,3,4,6,12,71,142,213,284,426,852共12个约数。

  一般地:对一个自然数作质约数分解(也称质因数分解)

  

nm都是正整数)

  A的约数个数有(n1+1)×(n2+1)×……×(nm+1)个。

例3 有两个两位数的积是3927,这两个数的和是几?

:首先将这个积做质因数分解

  3927=3×7×11×17

  把这四个质因数适当搭配可以得到这两个两位数是3×17=51,7×11=77。

  所以两数的和是51+77=128。

分析:我们可以把分母是13的分数按照规定的范围先列出来,再将其中分子是13的倍数的那些分数去掉。

  分子应在7至64这58个自然数中选择,因为13是质数,去掉13,26,39,52,用余下的54个自然数做分子,可以得到54个满足条件的最简分数。

例5 有八个数693,35,48,28,175,108,363,165把它们分为两组,使两组数的积相等。

分析:要使两组数的乘积相等,那么两组中相同质因数的个数一定相等。首先,将它们分解质因数。

  693=32×7×11 175=52×7

  28=22×7 35=5×7

  108=22×33 363=112×3

  165=3×5×11 48=3×24

  为了观察得清楚,我们将他们放在一个表格中:  

  这8个数的分组情况

  一组是:693,35,165,48

  另一组是:175,28,108,363

例6 要使四个数的积

  135×1925×486×( )结果的最后五位都是零,括号中的数最小填入几?

分析:要使乘积结果的最后五位是零,就应当使这四个数中保证有五对2和5的因子。

:首先将前面三个数字分解质因数:

  135=33×5

  1925=5×5×7×11

  486=2×35

  它们当中共有三个5,一个2。应再补上两个5,四个2,括号中的数最少应当取5×5×2×2×2×2=400。

例7 合数3570,有很多的约数,其中最小的三位约数是多少?

分析:如果我们一味地把3570的质因子凑成满足条件的三位数,也是可以的。还可将三位数由小到大逐个分解质因数,看其因子是否都是3570的因子即可。

  3570=2×3×5×7×17

  三位数从小到大:100,101,102,103……

  100=52×22 显然100中因子里5和2各多一个,100不是3570约数,

  101是质数,也不是3570的约数,102=2×3×17 2,3,17都是3570的质因子,所以102是3570最小的三位约数。

例8 九个连续的自然数,它们都大于80,那么其中质数最多有几个?

分析:我们用不同的条件做筛子,逐步加强条件的限制,使其结果明显化。

  由于大于2的质数一定是奇数,而大于80的九个连续自然数至多只有5个奇数,所以质数的个数不大于5个。

  我们知道:在三个连续的奇数中至少有一个数是3的倍数。所以这五个连续奇数中至少有一个是合数。因此,质数至多只有四个。

  如:101-109中,质数有101,103,107,109

例9 把33拆成若干个不同质数之和,如果要使这些质数的积最大,问这几个质数分别是多少?

分析:首先假设可以分成五个质数之和(分成6个以上质数之和不可能):33是奇数,因此五个质数中不能有2(否则和是偶数),取最小连续五个奇质数3,5,7,11,13的和是39超过33。所以分成五个是不可能的。

  假设33可以分成四个质数之和,33是奇数,因此四个数中一定有一个是偶质数2,即其余三个的和是31,显然可以找出其余三个分别是:3,5,23 3,11,17 7,11,13 5,7,19 三数乘积最大的是7×11×13=1001 假设33可分成三个质数和,只可能是

  3,13,17;

  3,11,19;

  3,7,23;

  5,11,17;

  乘积均小于2×7×11×13,33若分为两个质数之和,只可能是2和31,乘积仅为62。故应将33写成四个质数:2,7,11,13的和。

例10 A,B,C是三个自然数,已知:[A,B]=42,[B,C]=66,(A,C)=3,求所有满足上述条件的A,B,C。

说明:[A,B]表示A,B的最小公倍数,(A,B)表示A,B两数的最大公约数。

:由[A,B]=42=2×3×7可知A,B中只含有2,3,7的质因子。

  由[B,C]=66=2×3×11可知B,C中只含有2,3,11的质因子。

  因此,B的因子只可能取2,3。

  又因为(A,C)=3,A,C都含有3的因子,且A,C不同时含有2的因子,这样B中一定含有2的因子。

  下面我们排一个表格,将A,B,C的数值写进去。 

  可以看出,满足条件的A,B,C有六组。

  由于一个整数的质因数分解是唯一的,这往往就成为我们进一步分析问题的一个理想的出发点。



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