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第二讲 简单几何图形的面积计算


   作者:蓝忠诚 发表时间-9 :51:7  阅读( 17 )| 评论( 0 )

第二讲 简单几何图形的面积计算

一、基本概念

(一)几个基本概念

  1.平面图形 图形上所有的点都在同一平面内的图形,叫平面图形。如三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆、扇形等。

  2.面积 平面图形所围的平面部分的大小,叫这个图形的面积。

  3.全等形 如果两个平面图形叠合在一起,能够处处重合,便称这两个图形为全等形。

  4.等积形 面积相等的两个图形,叫等积形、全等形一定是等积形。

(二)常用的面积公式及其联系图

(三)几个重要结论

如果两个三角形的底和高分别相等,那么这两个三角形的面积相等。

如果两个三角形的底(或高)相等,那么它们的面积之比,等于它们高(或底)的比。

二、几种常用的求面积方法

(一)利用公式计算面积

例1 图2-1是一块长方形耕地,它由四个小长方形拼合而成,其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷,问图中阴影部分的面积是多少?

分析与解 因为阴影部分也是一长方形,所以只要求出它的长、宽是多少就行,为此设它的长、宽分别为a、b,面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d,按公式便有:

  a×c=15,c×d=18,b×d=30,

  因为(a×c)×(b×d)=15×30,

  而(a×c)×(b×d)

  =(a×b)×(c×d)

  =18×(a×b)

  所以a×b=15×30÷18=25

  答:阴影部分的面积为25公顷。

例2 图2-2中的三角形ABC是直角三角形,ACD是以A为圆心、AC为半径的扇形。求图中阴影部分的面积是多少?(π=3.14)

分析与解 从图上可以看出,阴影部分的面积,等于三角形ABC的面积与扇形ACD面积的差,因为三角形ABC是直角三角形,AC=BC=

 

 

  π×62=4.5×π=14.13(平方厘米)

  影阴部分的面积为:18-14.13=3.87(平方厘米)

  答:阴影部分的面积为3.87平方厘米。

(二)布列简易方程求图形的面积

例1 在图2-3中,ABCD是一长方形,BC=9厘米,CD=6厘米,且三角形ABE、三角形ADF和四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积是多少?

分析与解 从图中可以看出,三角形AEF的面积,等于四等边AECF的面积与三角形ECF面积之差,由于三角形ABE、三角形ADF和四边形AECF的面积彼此相等,而长方形ABCD的面积为(6×9=)54平方厘米,所以四边形AECF的面积为54÷3=18(平方厘米)。另外只要算出EC、FC的长度,便能求出三角形CEF的面积。

  因为三角形ABE、ADF是直角三角形,面积都是18平方厘米。而根据面积公式有

  

  AB=6厘米,AD=9厘米,即得两个简易方程:

  

  解得:BE=6厘米,DF=4厘米。

  CF=CD-DF=6-4=2(厘米),

  EC=BC-BE=9-6=3(厘米)

  三角形AEF的面积为:

  

  答:三角形AEF的面积为15平方厘米。

例2 在图2-4中,三角形ABC是直角三角形,AB是圆的直径,且AB=20厘米。如果图中阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米,那么BC长多少厘米(π=3.14)? 

  

所以只要求出三角形ABC的面积是多少,便可求出BC的长度来。

  从图上可以看出,阴影Ⅰ的面积加上Ⅱ的面积,等于圆面积的一半。阴影Ⅱ的面积加上Ⅱ的面积,等于三角形ABC的面积,再利用用阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米,便可得到下面的等式:

  

  BC=(157-7)÷10=15(厘米)。

  答:BC长15厘米。

(三)巧添辅助线计算图形的面积

例1 在图2-5中,ABCD是边长为9厘米的正方形,M、N分别为AB边与BC边的中点,AN与CM相交于点O,求四边形AOCD的面积是多少?

分析与解 从图上可以看出:四边形AOCD的面积,等于正方形ABCD的面积与四边形ABCO面积的差。添辅助线OB之后,又知四边形ABCO的面积,等于三角形ABO与BCO面积之和。

  因为AB=BC,M、N又分别为AB、BC的中点,所以有三角形BON的面积等于三角形CON的面积。

  三角形AMO的面积等于三角形MOB的面积,

  三角形ABN的面积等于三角形BCM的面积。

  又因为三角形AMO的面积等于三角形ABN的面积减去四边形MBNO的面积。

  三角形CON的面积等于三角形BCM的面积减去四边形MBNO的面积,

  所以三角形AMO的面积等于三角形NOC的面积,这样一来,三角形ABN的面积是三角形AMO面积的三倍,四边形ABCO的面积是三角形AMO

  =20.25(平方厘米),

  三角形AMO的面积=20.25÷3=6.75(平方厘米),

  四边形ABCO的面积=6.75×4=27(平方厘米),

  四边形AOCD的面积=9×9-27=54(平方厘米)。

  答:四边形AOCD的面积为54平方厘米。

例2 在图2-6中,四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E,且AF=CE,BG=DE,当四边形ABCD的面积为25平方厘米时,三角形EFG的面积是多少?

分析与解 从图中可以看出:

  三角形EFG的面积等于四边形ABGF的面积与三角形ABE面积之和。只要找到四边形ABGF与三角形AED、CDE、BCE面积之间的关系,问题可望解决。为此可添辅助线AG与CG。

  因为AF=CE,且三角形AFG中AF边上的高与三角形CEG中CE边上的高相等,所以三角形AFG与三角形CEG的面积相等。又因为BG=DE,且三角形ABG与三角ADE的高,三角形BCG与三角形CDE的高分别相等。所以三角形ABG与三角形ADE的面积,三角形BCG与三角形CDE的面积也分别相等。

  四边形ABGF的面积等于三角形AGF的面积加三角形ABG的面积等于三角形CEG的面积加三角形ADE的面积等于三角形BCE的面积加三角形CDE的面积加三角形ADE的面积。

  这样一来三角形EFG的面积与四边形ABCD的面积相同,所以三角形EFG的面积为25平方厘米。

  答:三角形EFG的面积为25平方厘米。

(四)利用割补法求图形的面积

例1 在图2-7中有两个边长均为2厘米的正方形,其中一个正方形的某一个顶点,正好在另一个正方形的中心位置上。且图中两个阴影三角形面积相等。问这两个正方形不重合部分的面积和是多少?

分析与解 从图中可以看出,两个正方形的重叠部分是一个四边形,其面积不容易直接求出。但条件告诉我们,图中两个阴影三角形的面积相等,而这两个三角形各有一条边是正方形对角线长度的一半,还有两组角彼此相等,通过叠合演示可以判定这两个三角形是全等三角形,这一来可将两个正方形重叠的哪个阴影三角形“割”下来,“补”到另一个阴影三角形所在位置上去。这样一来,重叠部分四边形的面积与一个三角形的面积相等。而这个三角形的面积正好是正方形面积的四分之一。

  因为正方形边长为2厘米,所以正方形面积为4平方厘米。重叠部分的


  两个正方形不重叠部分的面积和为:

  4×2-1×2=6(平方厘米)。

  答:(略)。

例2 求图2-8中阴影部分的面积是多少(π=3.14)?

分析与解 从图上可以看出,大直角三角形是由两个全等的直角边长为2厘米的等腰直角三角形拼成的。直接求图中阴影部分的面积比较麻烦。仔细观察图形可以发现,图形左、右两半关于大直角三角形斜边上的高线是对称的。如果从中间高线处将图形剪开,再把左半部分按逆时针方向转180°,拼在右半部下面,得图2-9,从图2-9可以看出,阴影部分的面积,等于半圆的面积减去等腰直角三角形的面积。这个等腰直角三角形的直角边的长度,正好是圆的半径,而圆的半径为2厘米。这样一来便有下面的解法。



  

    =6.28(平方厘米),

  

  阴影部分的面积为6.28-2=4.28(平方厘米)。

  答:(略)。

(五)利用变形法求图形的面积

  前面谈到的“割补法”的主要思路是:“割”下图形的某一部分,再将它改变位置后“补”在图形的剩余部分上,使图形变为一个面积容易求出的图形。而这里谈到的“变形法”,是区别于“割补法”的另一类等积变形。其特点是不需要“割补”,只利用我们前面提到的结论作一系列等积代换,便可解决问题。

例1 在图2-10中,直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点,如果三角形BEF的面积为6平方厘米,求三角形ADE的面积是多少?


分析与解 连AC,因为AB平行CD,AE是三角形ADE、ACE的公共底边,所以三角形ADE与三角形ACE的面积相等。

  又因为BC平行于AF,AF是三角形AFC与三角形ABF的公共底边,所以三角形ACF与三角形ABF的面积相等。

  从图2-10中可以看出

  三角形ACF的面积=三角形ACE的面积+三角形AEF的面积,三角形ABF的,面积=三角形BEF的面积+三角形AEF的面积。

  从上面这两个等式可以得到

  三角形ACE的面积=三角形BEF的面积、而三角形BEF的面积为6平方厘米,所以三角形ACE的面积也为6平方厘米,再根据三角形ADE与三角形ACE面积相等这一结论,最后可知三角形ADE的面积为6平方厘米。

  答:(略)。



 

分析与解 我们知道,如果三角形的底(或高)相等,那它们的面积比等于它们高(或底)的比。现在利用这一结论来解这个题。

  在图2-11上添一条辅助线AD,三



  

把上面两式相乘,得 



  

在图2-12中,再连结BE,从图中可以看出,三角形ABC、ABE的


 


 

  把上面两式相乘,得

    在图2-12中,再连结CF,利用上面同样的方法可得

  

  设三角形ABC的面积为“1”个面积单位,则有

  

  答:(略)。



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