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第五讲 二进制初步


   作者:蓝忠诚 发表时间-9 :29:55  阅读( 22 )| 评论( 0 )

第五讲 二进制初步

  古时候的原始记数方法是以形示数,如用绳子打结,打结个数表示事物的个数,就是“结绳记数”;在竹片、骨片;瓷片上刻划,就是“刻划记数”。直到有了文字,才开始用字母符号表示数。如罗马数码,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示现在我们熟悉的阿拉伯数码1、2、3,5记作V,10记作X,100记作C,采用“左减右加”原则,Ⅳ表示4(5减1),而Ⅵ表示6(5加1),Ⅸ表示9,Ⅺ表示11,XX表示20,CCⅢC表示203,罗马数码表示数的特点是不管一个数码写在什么位置表示的数是固定的。现在看来这种记数方法很不好,一方面符号太多,另一方面很难作乘除运算。后来产生了“进位制记数法”,用少数几个数码,同一个数码写在一个数的不同数位表示不同的数值,就是“位值制”。

  十进位制只用十个数码:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。如1993,千位上的1表示1000,百位上的9表示900,十位上的9表示90,个位上的3就是3。

  27548=20000+7000+500+40+8

  =2×104+7×103+5×102+4×10+8

  =an×10n+an-1×10n-1+…+a1×10+a0。

  除十进制外还有二进制,三进制,八进制等。这里介绍一下二进制。

一、什么是二进制

  在现实生活和记数器中,如果表示数的“器件”只有两种状态,如电灯的“亮”与“灭”,开关的“开”与“关”。一种状态表示数码0,另一种状态表示数码1,1加1应该等于2,因为没有数码2,只能向上一个数位进一,就是采用“满二进一”的原则,这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同。

  1+1=10,10+1=11,11+1=100,100+1=101,

  101+1=110,110+1=111,111+1+=1000,……,

  可见二进制的10表示二,100表示四,1000表示八,10000表示十六,……。

  二进制同样是“位值制”。同一个数码1,在不同数位上表示的数值是不同的。如11111,从右往左数,第一位的1就是一,第二位的1表示二,第三位的1表示四,第四位的1表示八,第五位的1表示十六。用大家熟悉的十进制说明这个二进制数的含意,有以下关系式

  (11111)(二进制)=1×24+1×23+1×22+1×2+1(十进制)

  一个二进制整数,从右边第一位起,各位的计数单位分别是1,2,22,23,…,2n,…。

 

二、二进制的四则运算

  二进制四则运算和十进制四则运算原理相同,所不同的是十进制有十个数码,“满十进一”,二进制只有两个数码0和1,“满二进一”。二进制运算口诀则更为简单。

1.加法

  二进制加法,在同一数位上只有四种情况:

  0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10。

  只要按从低位到高位依次运算,“满二进一”,就能很容易地完成加法运算。

例1 二进制加法

  (1)10110+1101;

  (2)1110+101011。

加法算式和十进制加法一样,把右边第一位对齐,依次相应数位对齐,每个数位满二向上一位进一。

  10110+1101=100011 1110+101011=111001

  通过计算不难验证,二进制加法也满足“交换律”,如101+1101=1101+101=10010。

  多个数相加,先把前两个数相加,再把所得结果依次与下 一个加数相加。

例2 二进制加法

  (1)101+1101+1110;

  (2)101+(1101+1110)。

  (1)101+1101+1110 (2)101+(1101+1110)

  =10010+1110 =101+11011

  =100000; =100000

  从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。

  巩固练习 二进制加法

  (1)1001+11;

  (2)1001+101101;

  (3)(1101+110)+110;

  (4)(10101+110)+1101。

2.减法

  二进制减法也和十进制减法类似,先把数位对齐,同一数位不够减时,从高一位借位,“借一当二”。

例3 二进制减法

  (1)11010-11110;

  (2)10001-1011。

(1)110101-11110=10111;

  (2)10001-1011=110。

例4 二进制加减混合运算

  (1)110101+1101-11111;

  (2)101101-11011+11011。

(1)110101+1101-11111

  =1000010-11111

  =100011

  (2)101101-11011+11011

  =10011+11011

  =101101。

  巩固练习 二进制运算

  (1)11010-1101;

  (2)11001-111;

  (3)110101-1111+101;

  (4)1001+1110-10011。

3.乘法

  二进制只有两个数码0和1,乘法口诀只有以下几条:

  0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1

  概括成口诀:零零得零,一零得零,一一得一。

  二进制乘法算式和十进制写法也一样。

例5 二进制乘法

  (1)1001×101;

  (2)11001×1010。

  (1)1011×101=110111;(2)11001×1010=11111010。

例6 二进制运算

  (1)101×1101;

  (2)1101×101;

  (3)(101+11)×1010;

  (4)101×1010+11×1010。

(1) (2)

  101×1101=1000001; 1101×101=1000001;

  (3)

  (101+11)×1010=1010000;

  (4)

  101×1010+11×1010=1010000

  从例6的计算结果可以看出,二进制乘法满足“交换律”;乘法对加法也满足“分配律”。对这一结论,大家还可以进行多次验证。

  巩固练习 二进制运算

  (1)1011×1101;

  (2)11101×1001;

  (3)10101×(111+101);

  (4)(11001-1111)×101

4.除法

  除法是乘法的逆运算,二进制除法和十进制除法也一样,而且更简单,每一位商数不是0,就是1。

例7 二进制除法

  (1)10100010÷1001;

  (2)10010011÷111。

(1) (2)

  10100010÷1001=10010; 10010011÷111=10101。

例8 求二进制除法的商数和余数

  111010÷101

  111010÷101 所得商数是1011,余数是11。

  巩固练习 二进制除法

  (1)1101110÷101;

  (2)1010110001÷1101;

  (3)求商数和余数

  1101001÷1001

  在二进制除法中,被除数,除数,商数和余数的关系和十进制除法的关系是相同的。

  被除数=除数×商数+余数。

  如例8,111010=101×1011+11。

三、二进制与十进制的互化

  通常情况下,一个数不加说明,它是十进制数,而非十进制数,就应加以说明。一个二进制数1011表示成1011(2)(在右下角注明进位制),为了强调说明一个数是十进制,也可以用同样方法注明,如十进制数135,表示为135(10)。

1.二进制数化十进制数

  二进制的意义已经知道:

  anan-1an-2……a2a1a0(2)=an×2n+an-1×2n-1×an-2×2n-2+…+a2×22+a1×2+a0。

  利用这一关系就很容易把二进制数化为十进制数。

例9 把二进制数化为十进制数

  (1)110101(2);

  (2)1011001(2)。

(1)110101(2)=1×25+1×24+1×22+1

  =32+16+4+1

  =53。

  (2)1011001(2)=1×26+1×24+1×23+1

  =64+16+8+1

  =89。

  巩固练习 把下列二进制数化成十进制数

  (1)111011(2) (2)1011010(2)

  (3)1011011(2) (4)11010100

2.十进制数化二进制数

  从一个简单数分析:

  

  =(a4×23+a3×22+a2×2+a1)×2+a0

  从以上表示式可见a0是21(10)除以2所得余数,21(10)

  =2×10+1,a0=1,

  a4×23+a3×22+a2×2+a1=10

  (a4×22+a3×2+a2)×2+a1=10

  a1是10除以2所得余数,

  10=2×5+0,a1=0,

  按这样道理,就可以依次求出a0,a1,a2,a3,a4。用以下形式演算:

  a0=1,a1=0,a2=1,a3=0,a4=1。

  21(10)=10101(2)

例10 把下列十进制数化为二进制数

  (1)139(10) (2)312(10) (3)477(10)

(1) (2) (3)

  139(10)=10001011(2)

  312(10)=100111000(2)

  477(10)=111011101(2)

  巩固练习 把下列十进制数化为二进制数

  (1)193(10) (2)231(10)

  (3)269(10) (4)437(10)

四、二进制的简单应用

  二进制在计算机中有广泛的应用。这里略举几例,说明二进制的应用。

例11 现有1克,2克,4克,8克,16克的砝码和各一枚,问在天秤上能称多少种不同重量的物体?

用枚举法可以讨论此题。

  1,2,1+2=3,4,1+4=5,2+4=6,1+2+4=7,……,1+2+4+……+16=31。可以称1~31克共31种不同重量的物体(只能是整克数)。

  用二进制研究此问题,更简便。砝码的克数正好是二进制的各数位的单位:1,2,22,23,24。用它们表示的最大数是11111(2)=24+23+22+2+1=31而11111(2)=100000(2)-1=25-1=31。不大于31的所有自然数都可以表示。

  思考 用1克,2克,4克,8克,16克,32克,64克在天秤上可称哪些重物?

例12 说明2300-1能被7整除。

  7=8-1=23-1=1000(2)-1=111(2);

  300÷3=100

  

  所以2300-1能被7整除。

  此题也可以用下面方法证明:2≡2(mod7)

  22≡4(mod7)

  23≡1(mod7)

  2300=(23100≡1100≡1(mod7)

  2300-1≡0(mod7)。



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