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第十讲 动手剪拼图形


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :55:49  阅读( 22 )| 评论( 0 )

第十讲 动手剪拼图形

一、剪剪拼拼

  图形的分割与剪拼都需要一定的技巧,下面举例说明某些常用技巧的来路及依据。

例1 你能想出几种方法,将任意一个三角形分成面积相等的六个三角形?

分析:把一个三角形分成面积相等的六个三角形,根据等底等高的三角形面积相等这一结论。只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形即可。为此,只要把三角形的任一边六等分,再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来,问题就解决了。

  另外,6=1×6=3×2=2×3。如果我们把分得的每一个小三角形的面积看成“1”,那么1×6就可看成把原三角形的面积直接六等分,而3×2可看成先把原三角形的面积二等分,再把其中的每一份分成面积相等的三个小三角形。同理,2×3可看成先把原三角形分成三个面积相等的三角形,再把其中的每一个三角形又分成两个面积相等的小三角形。

  除了上面的几种分法外,还可以这样想,因为6=1+5=2+4=3+3。所以对

余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。对6=2+4而言,可先从原三角形

分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形,对6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。

解法1 将三角形的任一边六等分,再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来,见图10-1。

解法2 以面积而言,先将原三角形二等分再三等分,或先将原三角形三等分再二等分。分法见图10-2。

解法3 先将原三角形分成两个三角形,使它们面积比为1∶5或2∶4或3∶3。再将面积为“5”、“2”、“4”、“3”的那个三角形分成5个或2个或4个或3个面积相等的小三角形,分法见图10-3。

 

 

  图10-1至图10-3中,在同一三角形中,标有相同符号的线段彼此相等。还有别的分法,请读者自己给出。

例2把图10-4两个图形中的某一个,分成三块,最后都拼在一起,正好拼成一个正方形,应怎么分与拼?

分析与解:不管将图10-4中的哪一个图形如何分成三块,最后拼得的正方形面积总等于图10-4中两个图形面积之和。

  图10-4中长方形的面积为:100×50=5000(平方厘米)。另一个图形的面积为:100×70-40×(70-20)=5000(平方厘米)。这两个图形的面积和为10000(平方厘米)。因此,拼得的正方形的面积也是10000平方厘米,其边长为100厘米。而图10-4中的两个图形,都正好有一边长100厘米。为了方便,可以用它们做正方形的一条边,这样就有了下面的一些剪法。

  第一种,将图10-4中不规则的那块图形,按图10-5中虚线所示分成三块,拼得的正方形见图10-6。

 

  第二种,将图10-4中的长方形图形,按图10-7中虚线所示分成三块,拼得的正方形见图10-8。

例3 有一块长24米、宽15米的长方形地毯,现在要把它移到长20米、宽18米的新房间里去。问是否可以找到一种剪裁法,把长方形地毯分成形状与面积都一样的两块,拼合后正好能铺满新房间的地面?

分析与解:地毯的面积为24×15=360(平方米),新房间地面面积为18×20=360(平方米),两者面积相等,但长、宽不等。因为24比20多4,18比15多3。所以可先把地毯分成30个4×3(平方米)的长方形,具体分法见图10-9。把图10-9中最右边一列的五个小长方形,移到下边去,补成图10-10所示的形状,图10-10所示的地毯正好能铺满新房间的地面。

 

  现在讨论如何将图10—9所示图形,分成面积和形状都相同的两块,然后拼成图10—10所示的长方形。

  先考虑面积。将图10—9分成面积相等的两块,每块的面积为180平方米,也就是15个4×3(平方米)的小长方形。再考虑形状。将15个大小一样的长方形,象砌墙似的就可摆成图10—11所示的形状,然后适当移动上面四层小长方形的位置,便可得图10—12所示的阶梯状图形,两个图10—42那样的阶梯状图形,上下“咬”在一起,就能拼成图10—10所示的长方形。这就启发我们得到下面的剪拼方法。

  按图10—13中粗实线,把地毯分成形状与面积都一样的两块,然后上下一移、左右一错便能拼成图10—14中所示的长方形,它正好能铺满新房间的地面。

例4 图10—15中有两个大小一样的正方形,现在要把每一个正方形都分成两块,并要求被分得的四块的形状和大小都相同,且每一块中都有A、B、C、D四个字母,问应怎么分?

分析与解:先将图10—15中(a)、(b)两个图形叠合在一起,为了便于区别,将图(a)中的字母A、B、C、D改写为a、b、C、d,图(b)中的字母不变,得图10—16。因为要求分成四块后,每块中只能有A、B、C、D四个字母,所以相同字母必须分开。因此,可在两个A、B、C、a、b、c之间画上粗实线,表示把它俩分开,见图10—16。如果把一个正方形分成了符合要求的两个图形,把这个图形绕正方形的中心旋转90°、180°后所得出的图形仍符合要求,现将图10—16绕正方形中心按逆时针方向旋转180°,得图10—17。原在图10—16的粗实线在图10—17中的位置用虚线表示。

  图10—15中每个正方形都有36个小方格,其一半应是18个小方格。现在把图10—16中的粗实线与图10—17中的虚线都在图10—15(b)中用粗实线标出,得图10—18。在图10—18中,再将图10—15(a)中的字母A、B、C、D在相应位置标出,得图10—19。在图10—19中,同时考虑A、B、C、D和a、b、c、d,又可在图10—19的某些字母之间添粗实线。从图10—19中去掉a、b、c、d,得图10—20。考虑所分得图形的连通性和A、B、C、D四个字母必同在一块内,又可以在图10—20上添上一些粗实线。这时每一块中都各有四个不同的字母A、B、C、D,但是一个图形中只有17个小方格,另一个图形却有19个小方格,这不符合要求。为此将图10—20左起第一行中从上到下的第二个B旁边的粗实线略加改变,得图10—21。图10—21中的粗实线正好将正方形分成了符合题目要求的两块。

 

  按图10—21和图10—22中的粗实线,正好将图10—15(a)、(b)中的两个正方形,分成了形状和大小都相同,且每块都有A、B、C、D四个字母的四小块。

例5 图10—23是边长分别为1、4、8个长度单位的三个正方形叠在一起组成的一个不规则图形,问最少分成几块后拼在一起,正好是一个正方形(分时按图中已有格子线分)?

分析与解:因为12+42+82=81=92,所以不论分成几块,拼成的正方形的边长是9个长度单位。

  先不考虑最少分成几块,只考虑怎么分后能拼成一个正方形。很容易看出。将图10—23按图中粗实线分成五块,便能拼成图10—24中边长为9的正方形。现在问题是。块数能否比5少。

  从图10—24可以看出,边长为9个长度单位的正方形,可在边长为8个长度单位的两边镶条边得到。图10—24下边那一条如果由两块变成一块,总块数便能减少一块。为此可先从图10—25的最右边按粗实线所示那样剪下一条,拼成图10—26的形状。图10—26的左、下两边长度都是9个长度单位,但上、右两边不符合要求。可将图10—26右上角那一部分,接图10—26中的粗实线分开,然后错开往下对在剩下大块的右边,便可拼成边长为9个长度单位的正方形。块数减少为3块。这样,按图10—27中的粗实线将图10—23分成3块,便能拼成图10—28那样一个边长为9个长度单位的正方形。经试验,三块是最少的块数。

二、动手试一试

  有些几何问题,只要亲自动手画画图,从图中便能看出所需结果。现举几例加以说明。

例6 有A、B、C、D、E五个点,排在一条直线上。已知D点在A点右边5厘米的地方,C点在E点右边6厘米的地方,B点在E点左边6厘米的地方,B点在A点左边5厘米的地方,求线段BD与线段AE、DC和的差是几厘米?

分析与解:按题目中的已知条件,将A、B、C.D、E五个点在直线上标出,具体标法见图10—29。

  从图10—29中可以看出:

  线段BD的长度为:5+5=10(厘米),

  线段AE的长度为:6-5=1(厘米),

  线段CD的长度为:6+6-5-5=2(厘米),

  所求之差为:10-(1+2)=7(厘米)。

例7 小京开始站在旗杆正东方10米远的地方,然后他面向正北方向前进12米后,左转弯90°向正西方向前进15米,再左转弯90°向正南方向前进15米,再左转弯90°向正东方向前进9米,问此时小京离旗杆多少米?

分析与解:按画地图的方法,先确定方位,上北下南,左西右东。先随便点一点O表示旗杆的位置,根据题意画得图10—30,只要能求出线段OE的长度,就能知道小京最后离旗杆多少米。

  在图10—30,过E点作OA的垂线,交OA于F点,下面求EF、OF的长度。

  EF的长度为:15—12=3(米),

  OF的长度为:9+10-15=4(米)。

  因为EF垂直于OF,所以三角形OEF为直角三角形,在这个直角三角形中,一条直角边长3米,另一条直角边长4米,根据勾三股四弦五这一结论,便可知道斜边OE为5米,这样便知小京最后离旗杆的距离是5米。



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