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第16讲 计数问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-10 :29:52  阅读( 11 )| 评论( 0 )

第16讲 计数问题

  计数,就是数(Shǔ)数。数学竞赛中计数问题比较多见。在这一讲,我们首先讨论最基本的“数图形”问题。

  【例1】图16-1是一个6×3的长方形,其中每个小方格都是1×1的正方形。数一数图1中共有多少个正方形。

  【分析】我们先把所有的正方形分成三类:边长是1的,是2的,是3的。在数边长是2的和边长是3的正方形时,不能遗漏。

  【解】12+7+4=23(个)

  【例2】图16-2中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可连成三角形。在这些三角形中,与阴影三角形面积相等的有多少个?

 

  

  (1)一条边长是3,这条边上的高是2;(2)一条边长是2,这条边上的高是3。

  在第(1)类中,按底边顺序,依次可列AB、BC、CD、DA、SG、FP、RH、EQ8种,每种情况又分别可选4个不同的顶点。

  第(2)类三角形的底边一定都在大正方形的四条边上,每条边上有两种情况(比如AD边上有AR与SD,以它们为底边,分别取B、G、H、C作为顶点,各组成4个三角形)。但要注意,第(2)类中的直角三角形,在第(1)类中已经数过了,要排除这些重复的三角形。

  【解】第(1)类有8×4=32(个),第(2)类有4×2×4-2×2×4=16(个),共有32+16=48(个)。

  【例3】图16-3中共有____个三角形。

  【分析】这个图中的三角形共有这样几类,它们分别与△AGF、△ABG、△ACD、△ABF、△ABE、△AHD形状相同。

  【解】35个。

  除了“数图形”以外,计数问题还有更丰富多样的形式,但解这类问题一般仍遵循“分种类、按顺序”计数的思路。

  【例4】从1到400的自然数中,数字“2”出现____次。

  【分析】在1~400这400个数中,“2”可能出现在个数、十位或百位上,应分三类分别计数;(1)“2”在个位上。 2、12、……292、302、312、……392,共10×4=40(次)

  (2)“2”出现在十位上,20~29,120~129,220~229,320~329,也是10×4=40(次)。

  (3)“2”在百位上,从200~299,共100次。

  【解】10×4×2+100

  =180(次)。

  想一想,1~400中完全不含数字“2”的数共有____个。

  【例5】有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(单位:厘米)的木棒足够多,选其中三根作为三条边围成三角形。如果要求所围成的三角形的底边长是11厘米,那么共可围成____个不同的三角形。

  【分析】可设底边为11厘米的三角形的另外两条边长分别为a、b,那么,

  11+1=12≤a+b≤11+11=22

  根据a+b的取值(从12到22),把这样的三角形分为11类:a+b=12,a+b=13,a+b=14,……,a+b=22,围成的每类三角形分别有,6个,5个,5个,4个,4个,3个,3个,2个,2个,1个,1个。

  【解】6+(5+4+3+2+1)×2=36(个)。

  想一想:上面分析中,为什么12≤a+b≤22?

  【例6】设a与b是两个不相等的自然数,如果它们的最小公倍数是72,那么,a与b的和可以有____种不同的值。

  【分析】两个数的最小公倍数是72,这两个数的关系可能是:(1)一个数是72,另一个数是72的约数(不含72);(2)一个数是36,另一个数是72的约数但不是36的约数;(3)一个数是24,另一个数是72的约数但不是24的约数;(4)一个数是18,另一个数是72的约数但不是18和36的约数。(5)两个数互质(9和8)。

  【解】11+2+2+1+1=17(种)

  教练员提示语

  计数的方法一般是“分类型、按顺序”,要注意防止重复和遗漏。为了防止重复,分类时应尽可能使每一类中都不包含另一类,如果包含的话,在对另一类计数时要去掉重复的(比如例5)。要做到不遗漏,数的时候应特别细致周到。

  有的计数问题中隐含了一定的规律。这些规律对解其它计数问题有用。本讲“自己练”中第1题的结果,能启发我们去解第2题。



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