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第17讲 加法原理与乘法原理


   作者:蓝忠诚 发表时间-22 :6:13  阅读( 21 )| 评论( 0 )

第17讲 加法原理与乘法原理

  尽管计数问题形式多样,但从题目的特点来看都有一定的规律。因此,解这类题可以直接运用计数原理。

  (1)加法原理:如果完成一件工作有K种途径,由第1种途径有n1种方法可以完成,由第2种途径有n2种方法可以完成,……由第k种途径有nK种方法可以完成。那么,完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。

  在上一讲中“木棒围三角形”的问题,可看成共有11种途径,这11种途径是:使a、b两条边的和分别为12,13,14,……22。每种途径中又分别对应着6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1种不同方法,根据加法原理,可算出结果是36。

  (2)乘法原理:如果完成一件工作可分为K个步骤,完成第1步有n1种不同的方法,完成第2步有n2种不同的方法,……,完成第K步有nK种不同的方法。那么,完成这件工作共有n1×n2×……×nK种不同方法。

  【例1】妈妈有3顶不同的帽子,4件不同的衬衫,5条不同的裙子。如果可以不戴帽子,那么妈妈用这些帽子和衣裙,共可组成多少种不同搭配的穿戴方式?

  【分析】可以把妈妈穿衣戴帽看作一件工作,分三步进行:①选择帽子(包括不戴帽);②选择衬衣;③选择裙子。因为可以不戴帽,所以在第①步中,可选择“ 3+1=4”种不同方法。在第②步、第③步中,分别有4种、5种方法。

  【解】根据乘法原理,可组成不同搭配的穿戴方式共有4×4×5=80(种)。

  【例2】直线a上有5个点,直线b上有4个点(如图17-1)。把这些点作为三角形的三个顶点,一共可组成多少个不同的三角形?

  【分析】首先要注意:组成三角形的3个顶点应当不在同一直线上。所以,“这件工作”应分两步,先在一条直线上选一个点确定第一个顶点,再在另一条直线上选两个点确定另外两个顶点。

  【解】5×(1+2+3)+4×(1+2+3+4)=70(个)

  【例3】180的约数有____个。

  【分析】180=2×2×3×3×5。这样想:从2张“2”的卡片、2张“3”的卡片、1张“5”的片卡中选若干组成180的约数。分三步:①选“2”;②选“3”;③选“5”。选“2”有3种情况:不选、选1张、选2张。选“3”、选“5”分别有3种、2种情况。

  【解】(2+1)×(2+1)×(1+1)=18(个)

  教练员提示语

  在加法原理和乘法原理中都有“完成一件工作”这句话,这只是为了表达的方便。有些计数问题(如本讲例3及“自己练”中第3、4两题)并不是以完成一件工作的形式出现,这没有关系。只要弄清楚:如果题目仅涉及“分步”,那么应用“加法原理”:如果题目中涉及“分步骤”,那么就要用“乘法原理”。有时,既要用“加法原理”,又要用“乘法原理”,例2就是这样。



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