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五 巧算求和


   作者:蓝忠诚 发表时间-16 :34:3  阅读( 24 )| 评论( 0 )

巧算求和

  德国有一位世界著名的数学家叫高斯(公元1977年~1855年).他上小学时,老师出了一道数学题:1+2+3+…+100=?小高斯看了看题目,想了一下,很快说出了结果是5050.他的同学无不为之惊奇,甚至还有的同学以为他在瞎说.但小高斯得出的结果被确定是正确的.同学们,你们知道他是怎么算出来的吗?原来小高斯在认真审题的基础上,根据题的特点,发现了这样的有趣现象:1+100=101,2+99=101,3+98=101,…,50+51=101.一共有多少个101呢?100个数,每两个数是一对,共有50对,即共有50个101,所以

  1+2+3+…+100

  =101×50,

  也就是:(1+100)×(100÷2)=101×50=5050.

  高斯的老师所出的题目,实际上是数列的求和问题.那么什么是数列呢?

  按照一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的数叫做数列的项,第一个数叫做第一项,又叫做首项;第二个数叫做第二项;……;最后一个数叫做末项.

  高斯的老师所出的题目,实际上是求数列:1,2,3,4,…,99,100的和.这个数列有什么特点呢?可以发现:2-1=3-2=4-3=…=100-99=l,即从第二项起,每一项与它前一项的差都相等,像这样的数列叫做等差数列,这个相等的差叫做这个等差数列的公差.如:

  1,2,3,4,…是等差数列,公差为1;

  1,3,5,7,…是等差数列,公差为2;

  2,5,8,11,…是等差数列,公差为3.

  由高斯的巧算可以得到:

  1+2+3+…+98+99+100=(1+10O)×(100÷2),

  即(1+100)×100÷2.由此可以得出等差数列的求和公式:

  总和=(首项+末项)×项数÷2.

  我们利用这个公式,可以很迅速地求出等差数列的前n项的和.

问题5.1 计算下列各题:

  (1)1+3+5+…+99;(2)1+4+7+…+100;

  (3)1949+1959+1969+1979+1989+1999+2009.

  分析(1)这是一个公差为2的等差数列,首项是1,末项是99,项数是50,所以

  1+3+5+…+97+99=(1+99)×50÷2

  =100×25=2500.

  (2)这是一个公差为3、首项是1、末项是100、项数是34的等差数列,所以

  1+4+7+…+97+100=(1+100)×34÷2

  =101×17=1717.

  (3)这是一个公差是10、首项是1949、末项是2009、项数是7的等差数列,所以

  1949+1959+1969+1979+1989+1999+2009

  =(1949+2009)×7÷2=1979×7=13853.

  在上面的解题过程中,怎样根据等差数列的首项、末项及公差来确定项数呢?同学们经过分析完全可以得出下面的计算公式:

  项数=(末项-首项)÷公差+1.

  另外,当这个等差数列是奇数个项时,总和=中间项×项数.

  同学们想一想这是为什么?

问题5.2 计算下列各题:

  (1)6000-1-2-3-…-99-100;

  (2)(1+3+5+7+…+1993)-(2+4+6+8+…+1992)。

  分析(1)可先利用减法的性质,把原题变为

  6000-(1+2+3+…+100),

  然后再利用等差数列的求和公式计算.(2)可分别利用等差数列的求和公式计算。

  解(1)6000-1-2-3-…-99-100

  =6000-(1+2+3+…+99+100)

  =6000-(1+100)×100÷2

  =6000-5050=950.

  (2)(1+3+5+…+1993)-(2+4+6+…+1992)

  =(1+1993)×997÷2-(2+1992)×996÷2

  =9972-997×996=997×(997-996)

  =997×1=997.

  (2)也可以这样解:

  (1+3+5+7+…+1993)-(2+4+6+8+…+1992)

  =1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+…+(1993-1992)

  问题5.3 计算

  1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99.

  分析 把原题作适当的变形,然后再利用等差数列的求和公式计算.

  解1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99

  =(1+2+3+4+…+97+98+99)-2×(3+6+9+…+99)

  =(1+99)×99÷2-2×(3+99)×33÷2

  =4950-3366=1584。

问题5.4 计算

  997+995+993+1009+1004+1011.

  分析 当许多大小不同但彼此又比较接近的数相加时,可选择其中一个数,最好是整十、整百、整千、……的数作为计数的基础,再找出每一个加数与这个数(基准数)的差.大于基准数的作为加数,小于基准数的作为减数,把这些差累计起来,再用基准数乘以加数的个数,加上累计差,就是这些数的和.本题选1000作为基准数较合适.

  解 997+995+993+1009+1004+1011

  =(1000-3)+(1000-5)+(1000-7)

  +(1000+9)+(1000+4)+(1000+11)

  =1000×6+(9+4+11)-(3+5+7)

  =6000+24-15=6009.

问题5.5 求平均数:

  199,202,195,201,196,201

  分析 选200作基准数,先求和,再求平均数.

  解[200×6+(2+1+1)-(1+5+4)]÷6

  =[1200+4-10]÷6=199



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