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七 数数的窍门


   作者:蓝忠诚 发表时间-17 :54:10  阅读( 21 )| 评论( 0 )

数数的窍门

  在远古时代,人类的祖先以围捕猎物为生.当时既没有文字,又没有数的概念.统计猎物通常只知道“多”和“少”,并不知道具体有多少.后来一位聪明的祖先想了一个办法:捕一只野兽就在长绳上打一个结,当围猎结束时,有多少个结就知道有多少只野兽.这样,统计和分配猎物就变得十分方便.从此人们不但认识了计数的重要性,而且还意识到有必要发现计数的新方法.

  随着时代的发展,今天计数变得更重要.同学们将来想当科学家,当工程师,你不学会计数可不行,但是“结绳计数”的方法已变得原始和古老.我们对同学们的要求是既要数得准确,又要数得快,这就需要许多技巧.顺便让我告诉同学们一个好消息:我们的前人已经找到了许多先进的计数方法,它们像珍宝一样熠熠闪光,能使你变得更加聪明.同学们一定急于想知道这些方法吧?请你在下面的问题及解答中去寻找.

问题7.1(1)若1米远栽一棵树,问1037米远栽多少棵树?

  (2)有一个正方形池塘,每边长1037米,若一米远栽一棵树,问池塘周围共栽多少棵树?

  分析第(1)题:同学们最容易想到的就是拿一支笔在纸上画出栽树的图,再数一数有多少棵.但这样做是不好的,因为数1037太大,全画出费时间.若是我们问103500万米栽多少棵,你花一年的时间也画不出来.能不能用一个聪明的办法很快地计算出来呢?可以!

  我们先看1米远[图7-1(1)]栽2棵,后看2米远[图7-1(2)]栽3棵,再看3米远[图7-1(3)]栽4棵.

  到此同学们思想上一亮,好像马上明白了1037米远栽1038棵.

  “容易想到的”叫常规思路.由上分析可见,用常规思路解决问题有时复杂,而富于聪敏智慧的方法虽不易想到,但用它解决了问题后,使我们感到甜美而愉快.

  那么同学们一定想知道我们上面用的到底是什么聪明方法?它为什么有那么大的奇效?我可以告诉同学们:以上用的思维技巧叫作“退”,就是当我们要数的对象数目较大而难数时,我们先退下来考虑数目较小的几种简单情况,从这些情况中寻找方法、摸索规律,就解决了原来的问题.

  第(2)题:由(1)的结论每边栽1038棵,而得出周围共栽4×1038棵,但这个答案不对.我们仍然用“退”的思想再来解这道题目.

  当每边1米时,周围共4米[图7-2(1)],栽4棵,当每边2米时,周围共 8米[图 7-2(2)],栽 8棵,故每边1037米时,周围共4×1037棵.

  那么,请想想,为什么刚才用(1)的结论求出的结果不对呢?

问题7.2 在图7-3中的两条线段上各含多少条线段?

  我们先解图(1).初看好像并不难,但是如果你不注意规律、次序、条理,而是随意地去乱数一气,那么,很可能不是数多了,就是数少了.不信试试看!

  下面我们用两种有“窍门”的方法来解此题.

解法1 我们把中间不含点的线段叫单线段.

  由1条单线段构成的线段有AC、CD、DB3条;由2条单线段构成的线段有AD、CB2条;由3条单线段构成的线段有AB1条.

  共3+2+1条.

解法2 以A为左端点的线段有AC、AD、AB3条;以C为左端点的线段有CD、CB 2条;以D为左端点的线段有DB1条.

  也是共3+2+1条.

  注意:在上述两种方法中,上面提到的“规律”、“条理”、“窍门”的实质究竟是什么呢?原来,人们为了数出一堆事物的个数,当这堆事物难于计数时,先依一定的标准把它分成几小堆(使得这几小堆中没有共同的事物且把几小堆合在一起刚好是原来的那一堆).然后分别数出各小堆事物的个数再加起来就是原来的事物数.这种窍门确实妙,我们把它叫做分类.每一小堆叫一类.

  显然分类要有个标准,这就是所谓的“规律”、“条理”.解法1是按含单线段的条数为标准.解法2是按A、C、D为左端点的标准将全部线段分成3类的.上面括号中的内容告诉我们:分类既不能重复,又不许遗漏.

  同学们用分类的思想仿题(1)解题(2),同样可用两种方法得到EF上含的线段总条数为4+3+2+1.

问题7.3 在图7-4中的两条线段上各含多少条线段?

  分析我们完全可以像问题7.2那样(用两种方法)分类计算.但是由于数字较大处理起来就不那么方便了.我们换一种方法,用前面介绍的“退”的思想.

  先考虑只有3点的线段:

  后考虑有4点的线段,由问题7.2(1)知上面含线段

  3+2+1条;

  再考虑有5点的线段,仿上可知含有线段

  4+3+2+1条.

  由此我们发现:

规律1 线段的条数是从1起的连续自然数的和,其最大的加数是“点数减1”.

  由此可得:

  故线段(1)中100个点的线段总数是99+98+…+1;

  而线段(2)中n个点,故线段共

  (n-1)+(n-2)+…+2+1条.

  
    用这个结论再去做问题7.2及其它数线段的题就容易了.

问题7.4 在图7-5的两个图形中各含多少条线段?

  分析 第(1)题:如果我们把加长了后就有一部分不在图上的线段叫“长线段”.那么图7-5(1)中共12条长线段.每条线段上都有6个点.由180条线段.

  第(2)题:虽然我们可数出图7-5(2)中共有10条长线段,但每条线段上的点数不都是相同的,无法统一计算每条上含线段的条数.这个困难是各线段上点数不同造成的.因此,我们自然想到把具有相同点数的长线段放在一起,也就是先按各线段上的点数为标准将这些长线段进行分类,然后再各类分别计算.

  故此图中共含51条线段.

问题7.5 一根绳子长40米,把它对折,剪断;再对折,剪断;第三次对折,剪断,这时绳子平均分成了几段.每段长多少米?

  答:第三次对折时均分成了8段,每段长5米.

  注意:本题属“对分问题”,解这类题也有规律可循.

  事实上:第一次对分成了2等分;

  第二次对分成了2×2等分;

  ………

 

  以上是有规律可循的计数问题.还有一类计数问题按正常思路和方法无法求解,这时,就得靠灵活机智去另辟蹊径求解.

问题7.6 (1)一棵树上有8只鸟,用枪打死了2只.这棵树上还有几只鸟?

  (2)一个金鱼缸里有8条金鱼,死了2条.问缸中还剩几条金鱼?

  答:(1)2只或1只或0只.

  注意:枪一响其它6只鸟都飞了.当打死的2只鸟都挂在树上时,树上有2只;若掉下1只时树上有1只;当全掉下来时树上一只也没有了,即为0只.

  (2)缸中仍有8条.(因为死鱼仍在缸中)

  同学们,你们做了上面的题有什么感受?是不是觉得它们非常简单,又非常容易出错?如果是这样那就对了.这种题像一口口陷阱,稍不小心就会“掉下去”.我们把这种题叫“陷阱题”.在生活和学习中我们的头脑思考问题常常有许多“误区”,要想办法去克服它们.经常做一些“陷阱题”,有助于培养全面、周密地思考问题的能力.



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