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​八 图形中的计数


   作者:蓝忠诚 发表时间-21 :1:55  阅读( 23 )| 评论( 0 )

图形中的计数

  在上节我们讲了最简单的平面图形点、线段的计数问题.虽然这类问题比较简单,但解决时所用到的思想方法(如退、分类等).在解决其它许多问题(包括一些非常复杂的问题)中将继续起作用.下面我们就要用这些思想方法去解决由直线段构成的平面图形(如角、三角形、正方形、长方形、梯形等)的计数问题.同时还要给同学们介绍几种新的思想方法,它们不但会成为同学们将来解决许许多多问题的重要武器,而且会成为你的财富,使你变得更聪明、富有.

问题8.1 数一数在图8-1所示的图形中有多少个不同的三角形?

  我们先用分类的方法求解.

  解法1把三角形中不含其它线段的三角形叫“单三角形”.下面以含单三角形的个数为标准把图8-1所含的三角形进行分类.

  1类:含1个单三角形的三角形有△PAB、△PBC、△PCD 3个;

  2类:含2个单三角形的三角形有△PAC、△PBD 2个;

  3类:含3个单三角形的三角形有△PAD1个.

  故图 8-1共含3+2+1个三角形.

解法2 按含“左边的斜边”分类.

  1类:含PA的三角形有△PAB、△PAC、△PAD3个;

  2类:含PB的三角形有△PBC、△PBD2个;

  3类:含PC的三角形有△PCD1个.

  故共有3+2+1个三角形.

  做到这里,同学们有什么感觉?你是否感觉到你好像以前做过这道题?如果你再去看看问题7.2也许你就明白了许多.原来上面的解答不但用到的思想方法同问题7.2处相同,而且结果也完全一样.也就是说,虽然问题7.2要求的是线段条数,而问题8.1要求的是三角形的个数,这两者明明是不同的对象,但对于计数这点来说它们有共性,或者说其实质是一样的.那么用什么办法来把这个共性或实质讲清楚呢?让我们先从人们比较事物多少的方法说起.

  秋收季节,有一位农民伯伯家里装了一筐鸡蛋和一筐苹果.现在他想知道鸡蛋多还是苹果多.当然只要数一数鸡蛋,再数一数苹果就有了答案.但农民伯伯给他的儿子们出了一道动脑筋的题目,问不数鸡蛋和苹果能否知道它们谁多谁少?他的小儿子小聪最先想了个办法:他拿出一个大空筐子,然后拿一个苹果又拿出一个蛋放在里面,然后又不断地重复这一动作,直到最后他发现装苹果和蛋的筐子同时空了.于是他告诉他父亲,蛋和苹果一样多.父亲又问他:“苹果有多少个?”他想:“要知道苹果个数只有一个一个地数,刚才白忙了半天”.正在他懊悔时,他妈妈从街上回来了,进门就说:“今天收入还不错,家里共有300个鸡蛋,我只卖了120个就卖了60元钱.”话音刚落小聪就高兴地笑了,忙告诉父亲说:“苹果有180个.”父亲忙夸奖小聪真是个有出息的孩子.同学们,小聪是怎么知道苹果数的?他刚才是白忙了吗?

  以上是一个虚构的故事,它告诉我们:人们要想知道一堆事物的多少有两种方法:一种是逐个地去数,这叫计数法;另一种是拿一堆已经知道个数(或更容易计算个数)的事物来,两堆中的事物一一配对(也叫把这两个事物对应起来),然后由后一堆事物的个数就可以推知前一堆事物的个数,这种方法叫对应法.当一堆事物难于计数时往往用对应法.在对应法中,对应的两个事物可看成一样的.让我们再用此法来解问题8.1.

  解法3分析:现在需要计数的是三角形,而我们最会计算的是线段,于是想到把三角形与线段对应.我们把三角形与它的底边对应(见图8-2):

  在上面对应中每个三角形与它对应的线段可不加区别,那么计算第一堆事物与计算第二堆事物是一样的,即解问题8.1与计算△PAD底边 AD上线段数是一样的.因为线段AD上有4个点,由上节的结论图8-1中含有

  同学们,你现在知道了问题7.2和问题8.1的共性或实质了吗?原来在对应的观点下,它们是完全一样的.

  把两堆事物能不多不少地一一配对(对应),那么这两堆事物个数一样多,我们把这叫对应原理.

问题8.2 图8-3的两个图形中各含有多少个三角形?

分析 由于这两个图中所有的三角形都共一个顶点,我们把每个三角形都与它们的底边(线段)对应.那么由对应原理,要计算图中三角形的个数就只需要计算线段AB和A′B′上含线段的条数就行了.

  (1)由于AB上有102个点,A′B′上有n个点,由上节的结论易知图(1)、(2)中所含的三角形个数分别为

规律 在△PAB中,若从P点出发向底边引n-2条线段(即包括边PA、

  问题8.2这么难,但是我们解决它却那么容易.你知道其间的奥妙吗?原来,我们利用对应原理把计算三角形个数的困难问题转化成了计算线段条数的熟悉问题,对应原理在此起到了桥梁作用.另外,在计算线段条数时,我们又直接用了上节“规律2”的结论,并没有去计算.由此可见,利用已学过的结论去解题,可省去思考的中间过程,从而使运算速度加快.如果你想提高解题速度,就请你多记些重要的结论.

问题8.3 图8-4的两个图形中各含有多少个三角形?

分析 我们希望用上面的规律求解.但图(1)比较复杂,显然需分类计算.一个很自然的想法就是把图(1)分解成如图8-5的三个三角形.这样就可分别直接用上面规律的结论求解了.

  由上规律知图8-5(1)、(2)、(3)中含三角形分别有6、6、3个,则图8-4(1)共含15个三角形.

  这样计算虽然结论正确,但方法是错误的.事实上在图8-5中遗漏了原图中的△CD1B1和△CD2B2,而△ADC与△ABC又分别在图8-5中算了两次,故图8-5不能当作图8-4(1)的一个分类.

  数复杂图形中简单图形个数的问题中正确的分类方法是:先把图形分割成几个不相交的独立图形,分别计算各独立图中简单图形的个数,然后再把这几个独立图形合起来,再数一数由于合并图形带来的新简单图形的个数,最后再把这几个数加起来才完成了整个求解过程.

  如本例中图8-4(1)可先分为△ADC和△DCB,它们中各含6个和3个三角形,而合为△ABC时又产生了△ABB2等6个三角形,故共有6+6+3=15个三角形.

  图8-4(2)留给同学们自己去完成.

问题8.4 数一数图8-6中含多少个锐角?]

解法1 由于∠APB中射线有n-2条,而n是一个抽象的数,故先退下来:

  当n=3时,如图8-7(1)用分类的思想可知有2+1个角;当n=4时,如图8-7(2)同样可知有3+2+1个角;

  ……

  由此可上升到n=n时,共有(n-1)+(n-2)+…+2+1个角.

  以上我们用的是退的思想方法.

  其实本题还可用分类的思想直接求解,而问题8.2也可用退的思想方法去求解.那么本题能不能用对应法求解呢?如果能,就要找一些事物来与图8-6中的角一一配对.怎么去找这些事物呢?显然图中难以找到这样的事物,因为图中只有射线,这些射线是不能与角一一配对的.(事实上,若把角与它左边的一条边对应,那么射线PA就会与∠APC′1、∠APCS′2、…都对应,这就不是一个对一个的对应了.)

  另一方面,前面刚学会了数线段和数三角形,加之从解法1的结果看,刚好与前面数线段、数三角形的结果相同,因此我们自然会想到去作一些线段或三角形与这些角一一配对.

解法2 我们在原图中作一条直线l,与各射线相交于A′,C1,C2,…,Cn-2,B′(见图8-8).

  考察△PA′B′,它里面所含的所有三角形正好与所有的锐角一一对应,故由对应原理三角形数与锐角个数一样多.由问题8.2的结论可知三

  不难验证,解法1、解法2的结果是相同的.解法2是把角与三角形作一一对应.事实上还可以把它们与线段A′B′上所含的线段一一配对.把问题7.2、问题8.2、8.4连起来看,线段数、三角形数与锐角数全都相同.用对应原理就可以理解这种巧合的必然性.

  另外,本题中原来并没有三角形或线段,是我们为了解题的需要人为地作出来的.作一种东西出来帮助解题的思想叫构造思想.

问题8.5 在图8-9的两个图形中,各含多少个长方形?

分析 数四边形个数的问题与数线段条数的问题,它们关系非常密切.

  图(1)中所有长方形的宽都等于AB,所以以AB为宽的长方形个数

  故长方形有10个.

  图(2)中,A′B′有几条线段就相当于有几个不同的宽,再把 B′C′上不同的线段当作长.一个宽配一个长就得到一个长方形.由于A′B′上有3条线段(3个宽),B′C′上有10条线段(10个长),故图(2)中共有3×10=30个长方形.

  注意:由长方形、正方形的意义可知,正方形一定是长方形,但反之不然.故求长方形个数时,不必把正方形分开考虑.

问题8.6 算一算图8-10中有多少个长方形?

 

  在长方形内分别作n-1和m-1条平行并等于长和宽的线段形成的图形叫m×n长方格网.

  

问题8.7 图8-11中含有多少梯形?并请读者自己总结数梯形网中含梯形个数的规律.再把这一规律同数长方形的规律比较,并思考、比较结果的必然性.

问题8.8 图8-12中,(1)有多少长方形?(2)有多少正方形?

  解(1)因为图8-12是4×4长方格网.

  故由上规律有长方形:

    

  (2)分析:数正方形和数长方形是不相同的,因为正方形要求长等于宽.为了方便,不妨假定图中每个小方格的边长为1个长度单位.那么AB上有几种长度不同的线段就有几个不同的竖边长,这点和长方形是相同的.但在AB上取一条作竖边长的线段,并不是BC边上任一条线段作横边长都能组成正方形的,而只有BC边上的那些与所取的那条竖线段等长的线段作横边长时才能组成正方形(如取AB边作竖边长时,只有取BC作横边长才能构成正方形).

  分类:(按竖边的边长分)

  1类:当竖边长为4个单位时(此时横边长也为4个单位),因为AB和BC上长为4的线段各只有1条,故图中含4×4的正方形有1×1=12(个).

  2类:当竖边长为3个单位[图(1)]时(此时横边长也为3个单位),因为AB和BC上长为3的线段各有2条,故图中含3×3的正方形有

2×2=22(个).

  3类:当竖边长为2个单位[图(2)]时,仿上可得正方形有

 

 3×3=32(个).

  4类:当竖边长为1个单位[图(3)]时,同样可得正方形有

4×4=42(个).

  如果把一个小方格的面积称作一个面积单位,那么图8-12中正方形的面积只能为1、4、9、16四个数.以上分类也可以看成按面积分类的.

问题8.9 数一数,图8-13中有多少个正方形?

分析 我们完全可以像解问题8.8一样去分类计数,但由于连n的大小也不知道,很抽象,故我们用以退求进的思想求解.

  当n=2时,见图8-14(1)

  

  有22+12个;

  当n=3时,见图8-14(2)

  有32+22+12个;

  当n=4时,见图8-14(3)

  

  有42+32+22+12个;

  ……

  当n取n时,共有n2+(n-1)2+…+12个.

  由n×n个单位正方形合并成一个大正方形叫作一个n×n方格网.

  规律n×n方格网中共含有n2+(n-1)2+…+12个正方形.

  *将来可以算得:

  为了训练同学们思维的周密性,在本节结束的时候,我们再出一道陷阱题.

问题8.10 一个方桌4个角,割掉了一个角还剩几个角.

  分析 思维简单型的同学作减法.

  答:有3个角.

  有一定思维能力的同学作观察[由图8-15(1)].

  答:有5个角.

  而思维周密的同学用数学思想指导解答.

  答:有3个或4个或5个.


  

  同学们,你知道这位思维周密的同学是怎么想到的吗?原来他的奥秘是分类的数学思想.他想,既有一条割线就可分成3种情况:当割线通过0个顶点时[见图(1)]有5个角;当割线通过一个顶点时[见图(2)]有4个角;当割线通过两个顶点时[见图(3)]有3个角.

  同学们,你能说出这里是以什么标准分类的吗?



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