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九 有 趣 的 数 阵


   作者:蓝忠诚 发表时间-20 :12:34  阅读( 28 )| 评论( 0 )

九 有 趣 的 数 阵

  数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵可分为辐射型和封闭型两种.填数阵时,一般优先考虑正中间的数或顶角上的数.

问题9.1 把1~9九个数分别填入图9-1中九个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等.

  

  分析 从图9-1中可以看出,中间圆圈所填的数是四条直线上公用的,它是一个用了4次的数.因此,我们在思考时,应先把中间圆圈内的数填出来.怎样确定这个数呢?

  设中间圆圈内的数为x,在计算四条直线上数的总和时,它多加了3次,又因为四条直线上的数的总和是4的倍数,所以

  1+2+3+…+7+8+9+3x=45+3x

  应能被4整除,这样x只能是1、5、9.

  当中间圆圈填1时,每条直线上三个数的和是12;当中间圆圈填5时,每条直线上三个数的和是15;当中间圆圈填9时,每条直线上三个数的和是18.这样就可以正确地填出结果了.

  解 适合题目要求的填法共有以下三种:

  

问题9.2 图9-2是一个六角星,把1~12这12个数填在六角星的○内(每个数字只许用一次).现在已经填入了六个数,其它六个○内填什么数才能使每条边上四个数的和都相等?

  

  分析 图9-2中共有12个圆圈,每个圆圈都恰好有两条直线通过.因此,在计算六条直线上数的总和时,每个圆圈内的数都计算了两次.而(1+2+3+…+11+12)×2=156,所以每条直线上四个数的和应是156÷6=26.先填出图中A、B、C三个圆圈中的数,其余的三个圆圈内的数就不难填出了.

  解 见图9-3.

问题9.3 在图9-4(1)中,同一个圆圈内四个数的和都是15.请在图(2)中的空白部分填上适当的数(2、3、5、7),使每个圆圈内四个数的和仍然等于15.

  

  分析 根据圆圈已有的数字4、6和1.可以肯定中间空白部分填的数必然大于1而小于5.符合这个条件的只有2和3.如果中间数是2.那么4+1+2+7<15,不符合题意.所以中间数应是3,这样就可以很快填出其它数了.

  解 填法如图9-5.

问题9.4 把1~8这八个数分别填入图9-6中的八个○内,使每个圆圈上五个数的和都等于21.

  分析 设两个圆交叉点上的两个○内各填的数是a、b,那么,在计算两个大圆周上10个数的和时,a和b都多加了一次,根据题目的要求,1+2+3+…+7+8+a+b=36+(a+b)除以2应是21,所以a+b=6.但在1~8这8个数中,只有1+5=6、2+4=6两种情况.如果中间两个○内分别填1和5,另外同一圆周上三个○内的数的和应是21-(1+5)=15.在2、3、4、6、7、8这六个数中三个数之和是15的只有2+6+7=15、3+4+8=15两种.如果中间两个○填2和4,其它的数可分为两组1、6、8和3、5、7.因此,可得出如上所述的四种填法.

  

  解 略.

问题9.5 用1~9这九个数字填入图9-7的○内.使三角形的每条边上四个数的和部等于17,或19、20、21、23.除上述数外,还可能等于其它数吗?

  

  分析 如果三角形每条边上四个数的和是17.那么三条边上的数字的和就是17×3=5l,但1+2+3+…+9=45、51-45=6,这是因为三个顶点上的数字都计算了两次,所以可以肯定.三个顶点的数的和是6.而和为6的三个数只能是1、2、3.各边上另两个数的填法就不难推算了.

  至于和为19、20、21、23的填法与上述和为17的分析方法相类似,请同学自己完成.

  另:除17、19、20、21、23以外,要使三角形每条边上四个数的和都相等,不能有其它数.

  解 略

问题9.6 请你在图9-8的4×4方格中填上适当的数字,使图中每条直线上的四个数字之和都相等.

  

  分析 要使图中每条直线上的四个数字之和都相等,那么每一行、每一列及两对角线上的四个数字只能是1、9、8、3,并且每一个数字在同一直线上只能出现一次.根据这一特点,可以采取尝试推导法,逐步填出图中各空格上的数.

  如图9-8(2),A格中只能填8或3,若A格填8,则B格只能填3或9,尝试B格只能填3,这样C格必须填9,D格只能填1,E、F两格应分别填8、1.至此,剩下的空格便可顺利填出了.

  

  如果A格中填3,仿上采用尝试推导法,也可得到另一填法(略).

  解 符合条件的一种填法如图9-9.



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