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十一 和差问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-19 :40:44  阅读( 13 )| 评论( 0 )

十一 和差问题

问题11.1 ○+△=84,○-△=48,○=?△=?

问题11.2 两质数之和是28、之差是6,这两质数各是多少?

问题11.3 某日,白天比黑夜长6小时,问这一天白天、黑夜各有几小时?

  请你分析一下,这三个题目中数量关系的共同特征是什么?(已知两个数的和与差,求这两个数.)

  类似上述三道题的数学问题,称“和差问题”.

  和差问题的基本数量关系式如下:

  (和+差)÷2=大数

  (和-差)÷2=小数

  你能独立解答问题11.1、11.2、11.3吗?

  分析与解答和差问题的思路很多,现列举且分述如下:

  题眼法.题眼,就是析题解题的关键处或突破口.分析题意时,抓题眼“两数和”及“两数差”.如果“和”或“差”未直接告诉,则应先予以确定并分清哪个是大数,哪个是小数,然后利用数量关系式便可求解.

问题11.4 分数单位相同的甲、乙两数,相加结果为1,甲数比乙数

  分析 该题求甲、乙两分数各是多少.据条件知,所求两分数之和为1、之差为1/3,乙数是小数,甲数是大数.运用数量关系式求解.

  将等高不等底的两直角梯形纸板,粘接成(无重叠部分)一块长5分米、宽3分米的长方形纸板.已知小梯形纸板上下底的和比大梯形上下底的和少4分米,大、小梯形两纸板面积分别是多少平方分米?

分析与提示 该题求大、小梯形两纸板面积分别是多少.如果知其面积“差”与面积“和”,便可运用和差问题的数量关系式直接求解.据条件,面积和间接知道(即求长方形面积),而面积差不易求,此思路暂时不通.

  据条件又知大、小两梯形上下底和的差,大、小两梯形上下底和的“和”,即为长方形的2个长,从而可分别求出大、小两梯形上、下底的和;大、小两梯形的高,就是长方形的宽,由此,根据梯形面积=(上底+下底)×高÷2的公式,可分别求出大、小两梯形纸板的面积.

  至此,你能列式求解吗?

  小李和小王共储蓄2000元,如果小李借给小王200元,两人储蓄的钱恰好相等,问两人各储蓄多少元?

  请思考:两人储蓄钱的和是2000元,储蓄钱的差是200元吗?

  请自己列式解答问题11.1、11.2、11.3、11.5、11.6各题.

  有1元和5元的人民币共17张,合计49元,两种面值的人民币各有多少张?

  分析 该题求两种面值的人民币各有多少张.已知总张数17张,但两种人民币张数相差多少难以确定,怎么办?

  再分析题意,又知两种面值的人民币的总钱数,及各自的票面值,但两种人民币相差的钱数也难以确定,这又怎么办?

  我们可用“假设法”思考.假设17张人民币全是5元的,总钱数则为5×17=85(元),比实际的49元多出85-49=36(元).多的原因是把1元的人民币假设为5元的人民币了.用数量关系式表示为:

  

  

  根据这一数量关系式,可先求1元人民币的张数.

  17-9=8(张)

  验算:1×9+5×8=49(元).

  答:1元人民币9张,5元人民币8张.

  也可以假设17张人民币全是1元的,便可有另一解法.

  解法 2(49-1×17)÷(5-1)

  你能说出解法1与解法2的综合算式每一步的意义是什么吗?

  自己求出解法2的结果,且与解法1相对照,答案一样吗?

  请你观察、比较、分析且归纳问题11.6与问题11.7的数量关系及其解答方法有什么异同?

  问题11.6与问题11.7都属和差问题.

  但问题11.6中已知或未知的数量是同类量,可运用和差问题的数量关系式求解;而问题11.7含三种有联系的不同类量(票面值、总值、钱的张数),且所求两数的差难以确定,解答时须通过假设分析法(从假定的条件入手分析题意),将和差问题转化为“两个差问题”(利用两个相关联的差求未知数)求解.

  100名师生参加植树,老师每人栽3棵,学生每2人栽1棵,总共植树100棵.问老师和学生各有多少人?

  请你按问题11.7的解析法,解答本题.

  提示:可假设老师每人植树的棵树与学生同样多(学生每2人植一棵.即每人植1÷2=0.5棵),

  或假设学生每人植树与老师每人植树同样多.

  对较复杂的和差问题还可以用图解法,即把数学题的条件和问题用示意图表示出来,使其数量关系具体化、形象化,以帮助我们理解题意,找到合理的解题途径.

  两缸金鱼共46尾,若甲缸再放入5尾,乙缸取出2尾,这时乙缸仍比甲缸多3尾,甲、乙两缸原有金鱼多少尾?

  分析 这题的数量关系比较复杂,可先画线段图(图11-1),使其数量关系明朗化.

  

  从图11-1可以看出,甲、乙两缸原有金鱼尾数相差5+3+2=10(尾).用数量关系式表达为:

  

  现在知甲、乙两缸原有金鱼尾数之差,原题又告诉原两缸金鱼尾数之和,此时有如下求解方法:

  

  46—28=18(尾).

  答:甲缸原有金鱼18尾,乙缸原有28尾.

  从图11-1也可以看出,甲缸放入5尾,乙缸取出2尾后,原两缸金鱼总尾数同时发生了变化,即为

  46+5—2=49(尾).

  原题告诉甲、乙两缸放入或取出金鱼后,乙缸仍比甲缸多3尾.现在知放入或取出后,两缸金鱼尾数之和及相差数.此时又有另一种求解方法:

  解法2

  (1)甲缸放入5尾后金鱼的尾数:

  [(46+5-2)-3]÷2=23(尾).

  (2)甲缸原有金鱼的尾数: 23-5=18(尾).

  (3)乙缸原有金鱼的尾数:23+3+2=28(尾).

  答:略.

  请你再观察图11-1,自己寻找新的解法.

  用144分米长的铁丝围成一个长方体框架(如图:11-2).一只蚂蚁从顶点A出发,沿棱爬行,经顶点B、C,到达D.已知蚂蚁每分钟爬行6分米,经BC比AB多用1分钟,经CD比BC少用2分钟.这个长方体框架的长、宽、高各是多少分米?

  

  分析 已知蚂蚁每分钟爬行6分米.经BC比AB多用1分钟,可知BC比AB长6分米(6×1=6);经CD比BC少用2分钟,可知CD比BC短12分米(6×2=12).

  又知长方体框架棱长和为144分米,AB、BC、CD分别为长方体的长、宽、高.可知AB、BC、CD长度和为144÷4=36(分米).

  现以线段图表示AB、BC、CD长度间数量的关系.如图11-3.

  由图11-3知AB、CD的长度均与 BC有直接联系.如以BC的长为标准,则:3条线段总长+6+12(分米)相当于BC的3倍.由此可求BC的长,AB、CD的长也将迎刃而解了.

  

  至此,你能列式求解了吗?

  同学们,解析和差问题的思路还很多.解题时,应根据题意灵活选用较简捷的解析方法.



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