作者:沈重予

在系统复习阶段听了四堂课，复习内容分别是因数与倍数、四则混合运算和简便运算、比和比例、平面图形的周长与面积。总的说，这些课都上得相当好。

1.    再认重要的知识，加强对数学内容的理解和掌握，进行必要

的补缺、补漏，是复习课的基本任务。四堂课都很重视知识的回忆与整理，列出了复习内容的主要知识点，回忆了各个知识点的数学含义，有针对地加强了薄弱环节，学生的数学概念更加准确、清晰，数学方法更加扎实、牢固。

2.沟通知识点之间的联系，重组知识结构，把相关知识结合成

‘块’，科学地记忆储存，是复习的第二项任务。四堂课都根据所复习内容的特点，选择恰当形式对知识进行加工，改变了知识零星、松散、孤立等状况。学生更加清楚知识的来龙去脉，提高了记忆或提取知识的水平。

3.应用知识进行判断和解决问题，提升学生掌握知识的品位，是复习的第三项任务。每一堂课都在回忆知识的过程中，及时安排判断练习；在系统整理知识之后，都有解决问题的练习（包括计算练习）。部分习题的创意很好，具有趣味性和挑战性。学生进一步体验到知识的应用价值，解决问题能力得到又一次锻炼与培养。

4.提高数学思维水平，增强学习数学的信心，也是复习的任务。在学生应用知识解题时，不仅关注方法与结果，同时还关注思维的过程。涉及了‘怎样想的’‘为什么这样做’‘与什么知识有关’等深层次的思考，涉及了‘注意什么’‘防止什么’等习惯态度方面的因素。学生的复习收获相当丰满。

5.教师的课前准备充分，教学效率比较高。每一堂课都准备了丰富的教学材料，课堂容量较大，有速度、有密度；每一堂课都使用电教手段，发挥了现代教育技术对课堂教学的积极作用。教师的教学语言，无论是讲述还是提问，都属于上乘水平。

     学生的状态也比较好，情绪稳定、学习专注、态度认真，积极思维、勤于动手、乐意发言。

   

    边听课、边思考，提炼出几点和大家共享。

一．从学生实际出发，选择最适当的回忆知识的教学方法。

     知识结构总是‘点到线、线成面’地逐步编织而成的。所以，复习往往从回忆有关知识开始，找出主要的知识点，重温这些知识的数学内容。复习课上怎样找到知识点，是教学设计应该考虑的。

     学生在小学阶段获得了大量数学知识，众多知识的记忆状况不同。有些数学内容经常应用，记忆情况比较好；有些内容已经很长时间不接触，遗忘是正常的。有些内容似乎已经淡薄，稍加点拨还能回忆；有些内容则已很难想起了。引导学生回忆知识是一项教学技巧，要从学生实际出发，实事求是地选择回忆知识的方法。

（1）复习四则混合运算，主要内容是运算顺序。

      教学片段    给出六道式题

      260－49－156          18÷1.5－0.15     （5.9＋1.65）÷2.5

      （1.5-0.6）×（3.4＋0.34）       2/3＋7/9×3/14

      9/10÷〔1/2×（6/5－3/10）〕

师：说说各题的运算顺序。

生：第一题先算260减49，再用得到的差减156.（其它题略）

师：谁能把运算顺序归纳一下？

生：同级运算从左往右依次计算；二级运算先算乘除法，后算加减法；

有括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

       学生经常进行计算，运算顺序比较熟悉。像这样记忆牢固的知识，可以让学生主动回忆。这个片段中，教师提供现实的计算情境，学生受到情境里各个运算符号的刺激，运算顺序很自然地从记忆里提取出来。

   （2）复习‘因数与倍数’，涉及较多知识，概念性特别强。

   教学片段  

师：如果a÷b＝c是整除，那么a是b的倍数，b是a的因数。学习因数与倍数

时，还有那些知识？

     学生在课前已有一些准备，相互交流个人想到的知识。

生1：还了解到奇数和偶数。

生2：公倍数和公因数。

生3：素数和合数。

生4：2、3、5的倍数的特征。

（教师把学生说到的知识点有序地安排在板书中）

师：用1、2、3、5四个数字，能组成多少个两位数？

  （学生独立思考，在草稿纸上写出组成的两位数）

生：12、13、15，21、23、25，31、32、35，51、52、53.

师：在1、2、3、5和组成的两位数中，哪些是素数、哪些是合数？

生：素数有2、3、5、13、23、31、53.

     合数有12、15、21、25、32、35、51、52.

师：上面一共十五个数，还有一个数呢？

生：1不是素数，也不是合数。

师：你怎样判断素数的？51为什么是合数？

生：（略）

师：上面的数中，哪些是奇数？哪些是偶数？

生：奇数有……（十二个），偶数有……（四个）

师：上面的奇数和偶数一共十六个、所有自然数都属于奇数或偶数，没有第三类。

你依据什么判断奇数与偶数？

生：（略）

因数和倍数以及相关的知识，都是认识分数之前教学的，已经较长时间不涉及了，学生有些遗忘也是正常的，他们回忆知识会有困难。上面片段，教师提前预告将要复习什么内容，让学生课前就回忆具体的知识。由于课前时间宽裕、氛围宽松，学生或多或少能想到一些有关知识。教师在课上安排学生相互交流想到的知识，集思广益，把知识点逐渐都列出来了。像这样组织学生回忆知识，是一种很好的方式。

学生找到的每个知识点都是一个概念，各个概念都要复习。让学生在十六个数里，先分别说出素数与合数，奇数与偶数，再分别说说各个概念的定义。针对学生‘外延易找、内涵难说’的状况，像这样‘先找外延’‘再说内涵’是一种很好的回忆线索。

（3）复习‘比和比例’，包括比的意义、比例的意义，比的性质、比例的性质，比的应用、比例的应用等具体内容，都是六年级（上册）里教学的，已经近半年不涉及了。而且，这些概念与性质，教科书里都用数学语言描述，估计学生头脑里会留有概念与性质的印象，数学语言可能淡薄了。

     教学片段

师：用比的知识，说说班内男女生人数的关系。

生1：男、女人数比是18比23.

生2：女、男人数比是23比18。

      教师即时板书18︰23、23/18。

师：今天复习比和比例，小组内先选择一名学生的整理进行讨论，然后交流个人

的整理。

生1：比表示一个数与另一个数的关系。

生2：比有前项、后项、比值。

生3：一个数除以另一个数的比值。

      教师在学生广泛交流以后，给出‘两个数的比表示这两个数相除’。

    这个片段真实地表现出多数学生对比的认识和记忆。新授比的意义时，曾经联系较多的具体素材让学生感知比的含义，并且揭示了比的意义。在那时，学生表现出感知充分、概念清楚。隔了一段时间，许多学生会把定义忘了，在他们头脑里只有关于比的印象。不过，这种印象只要稍加点拨，很快就能回到定义的层面上。

回忆比的意义，如果一定要学生想到、说出比的定义，恐怕不容易做到。如果让学生举出有关比的实际例子，头脑里的比的印象就会顿时活跃起来。教师先让学生用比表示班内男、女生人数的关系，找到一个回忆比的切入口；再让学生回忆对比的认识，在具体情境例体验比的含义，感受比表示两个数的关系，与除法有关。然后出示比的定义，学生头脑里比的概念就清晰了。

（4）平面图形的周长与面积，是两种不同的量。具体内容有周长的含义、面积的概念、常用的面积单位、六种平面图形的周长计算方法和面积公式，知识点相当多。周长是三年级教学的，那时，指向具体图形描述了周长的含义，并根据周长的含义求图形的周长。面积的教学从三年级到五年级，给出了面积的定义，推导了各种图形的面积计算公式。大多数学生的头脑里有周长与面积的概念，但面积的定义可能说不出了，他们对各种图形的面积公式应该是熟悉的。

教学片段

教师创设现实问题情境，出示环形跑道围成的操场图，让学生体会，求跑道一圈的长，是求图形的周长；求操场占地多少，是求图形的面积。为这节复习课形成关于内容的心向。

师：已经学过哪些图形？

生：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆。

（教师随着学生的回答，在黑板上出现这六种图形）

师：需要复习哪些内容？

生1：周长公式和面积公式。

生2：公式的推导过程。

师：还有必要对周长和面积的概念作出回忆。

     出示课件 ①你怎样理解平面图形的周长、面积？

              ②怎样计算平面图形的周长？

              ③学过哪些平面图形的面积公式？这些公式是怎推导的？

师：看看书，找材料指一指、说一说。

       （学生活动以后）

师：就黑板上的图形，指一指什么是面积、什么是周长。

生1：平面图形的周长是各条边加起来的和。

生2：围成图形的边一圈是周长。

教师在课件上出现‘围成一个图形的所有边长的总和叫做图形的周长。计算周长要用长度单位。

学生对面积有感觉，但说不出。他们能够通过‘摸’图形的面，表示自己的面积的理解，而面积的定义已经忘了

于是，教师在课件上给出‘物体表面的大小或平面图形的大小，叫做它们的面积。计算面积要要面积单位。

师：周长和面积是两个不同的概念，要正确区分它们。

方格纸上出现一个长方形和一个平行四边形，面积相等、周长不等；出现两个组合图形，周长相等、面积不等。

这节课的内容结构与前面三课不一样，周长和面积的概念是最为基础的知识。测量或计算平面图形的周长是求‘图形一周边线的长度总和’，把所有边的长度相加是求周长的基本方法，在图形的某些边长度相等时，才有相应的周长公式。计量平面图形的面积，是用面积单位测量图形大小的活动，面积公式是根据测量中的规律，推导出来的。教师安排较充分的时间，带领学生复习周长、面积的意义，很有必要。尤其在学生重视公式、忽视概念时，这样的教学尤为重要。

概念有内涵、有外延，理解概念要明白其本质特征，要知道其所涵盖的对象。数学语言能够准确、精炼地描述概念的内涵，文本的数学定义未必能在每一个人的头脑里原封不动地保存。学生记忆数学概念还有其他方式，把学生形象直观、经验型的记忆和必要的文本定义结合起来，能使学生的数学概念准确，又不成为记忆的负担。

前面说到，引导学生回忆知识是一项教学技术，不同知识往往需要不同的回忆方式（或方法）。四堂课上的两条经验很宝贵。一是现实情境（或背景）会促进学生回忆，从识别外延到说出内涵，有助于学生回忆。二是课前预告即将复习的内容，鼓励学生先查找资料（最好能看看以前的教科书）作些准备，能够提高复习课的效率，还培养了自己复习的习惯和能力。

二．找到重要的知识，进一步理解各个知识的数学内容以后，接着是沟通知识之间的联系，对知识作深层次的整理加工。促进学生认知结构的优化，使知识便于储存、容易提取。

整理知识需要‘载体’，用什么形式最能反映知识之间的关系、最方便整理、最有利于记忆？是很有讲究的。

教学片段

师：你还记得各个面积公式的推导过程吗？

（学生的反应不完全相同，有人记得多些、有人少些，有人说得清楚，有人说不出来。教师组织学生适当回忆，并用课件展示各个面积公式的推导。所花时间不多，效果却很明显）

师：有关平面图形的面积公式，是在哪个图形的基础上推导出来的？

    这六个图形可以用怎样的网络相互联系？

    

     两名学生在黑板上摆成像下面的网络图：

                正方形       三角形

       长方形→ 平行四边形＜

                圆          梯形

 

      学生作出这样的整理，表明他们已经了解了各个面积公式之间的联系。这张网络图也许对记忆各个面积公式作用不是很大，其中的图形转化、图形运动、图形变化的思想，具有很大的教育价值。这张网络图会在许多学生的记忆中留下深深的痕迹。

     

教学片段

教师设计一张表格，带领学生一边回忆整理，逐步在表格里写出具体内容。

	比	比例
意义	两个数的比表示两个数相除	表示两个比相等的式子
性质	前项和后项，同时乘或除以一个不是0的数，比值不变	两个内项的积等于两个外项的积

在表格里整理，也是一种常用形式。一些对应关系，包括相对应的一致或者相对应的区别，适宜在表格里整理。在这张表格里，很清楚地表示出：‘比’是两个数的关系，‘比例’是两个比的关系；‘比’是两个数相除，‘比例’是两个比相等。比的性质与分数基本性质、除法商不变规律相一致，比例的性质和比的性质内容不同；利用比的性质可以化简比，利用比例的性质可以解比例。

教学片段       指着已经填写的表格

	举例	用字母表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
减法性质
除法性质

 

 

 

 

 

 

 

 

 

师：加法、乘法交换律有什么共同的地方？

生：把运算符号两边的数交换位置，得数不变。

师：交换律只改变数在式子里的位置。

     两条结合律有什么共同点？两条运算性质有什么共同点？

生1：结合律改变运算顺序，数在式子里的位置不变？

生2：原来先算前面两个数的运算，变成先算后面两个数的运算。

师：结合律改变运算顺序，数在式子里的位置没有变。

生：两条运算性质都改变运算符号和运算顺序。

     这个片段也是整理知识，在回忆各条运算律的基础上，深入整理运算规律。通过整理，七条运算律或运算性质被合并成四块，学生对交换律、结合律以及两条运算性质的内容把握更加本质。

     整理是学生重组新认知结构的过程，可以借助某种形式进行。无论选择什么形式整理，都只是学生思维的载体，是推动学生思考的工具。只有在学生头脑里形成知识之间的联系，才是有意义的整理。

三．应用知识解决问题，是数学复习不可缺少的部分。

学生应用学到的数学知识解决实际问题，既是数学教学的目的，也是数学教学的一种方法。

     判断是一类练习形式。对某个结论给出肯定或者否定称为判断，学生作出判断的依据是自己头脑里的概念。学生作出的判断是否正确，能够反映他的数学概念是否清楚。所以，教学中经常安排判断练习。如，复习比和比例概念以后，让学生判断下面两句话是不是正确：

    两个不是0的数可以组成比。（  ）

两个比可以组成比例。（ ）

作出前一个判断要依据比的意义。两个不是0的数可以相加，也可以相减、相乘或相除。当两个数相除时，它们可以组成比。作出后一个判断要依据比例的意义。如果两个比的比值相同，这两个比能够组成比例；如果两个比不相等，它们不能组成比例。设计这一组判断题，有利于比和比例概念的加强和巩固。

又如，复习圆的周长和面积以后，让学生判断下面两句话对不对。

      小圆半径2厘米，大圆半径3厘米。

      小圆周长和大圆周长的比是2︰3（ ）

      小圆面积和大圆面积的比是2︰3（ ）

      这也是很好的判断题，与刚刚复习的圆周长、圆面积等知识有密切关系，学生利用概念作出判断，同时也加强了概念。

教学判断练习，要把力量放在‘为什么这样判断上’，即要求学生说出自己作出判断的思考，联系有关的概念，对自己判断进行解释。

小圆半径2厘米，周长是4π厘米，面积是4π平方厘米；大圆半径3厘米，周长是6π厘米，面积是9π平方厘米。小圆周长和大圆周长的比是4π︰6π＝2︰3，小圆面积和大圆面积的比是4π：9π＝4：9。

      遗憾的是，判断题的结论在教学中很受重视，而作出判断的思考往往没有落到实处。可能教师会说，类似这些判断在新授时已经详细地展开过，学生都知道了。如果确实这样，复习时再出现这些判断题就没有价值了，因为学生知道答案，无需思考，不存在应用概念、加强概念的作用了。如果学生还不能像这样有条理地思考，那么仅有答案，没有过程是远远不够的。

      由于听课笔记不全，这里仅举上面的例子。几堂课上的判断题，用得都没有最到位。