一、初中组：
发现数学之美
例1：点A是平面上的任意一点，点B是半径为R的⊙O上的任意点，点C是线段AB上的任意点.当点B在⊙O上运动时，点C的轨迹是什么？
（1）设计一个学具加以说明
（2）用你学过的知识加以说明.
解答提示：（1）利用超级画板作出图形，让点A在圆上动画，跟踪点B即可如下左图.
         （2）C点的轨迹是与⊙O位似的圆.其位似中心为A,位似比为BA：CA


例2：小明想和同学玩15点游戏，请你帮助设计一套永远不输的方法.
游戏方法：桌面随便放有黑桃A、黑桃2、黑桃3、…黑桃9，共9张牌，两人玩15点游戏，一人一次一张轮流拿牌，谁手中的三张牌和为15谁赢.
 
解答提示：本题答案不唯一.初一学生有学习过三阶幻方如图，可以利用它来建模.因为三阶幻方任意一横行、一纵列及一条对角线上的三个数字之和都等于15.我们在摸牌时注意防止对方模的牌满足横、纵、对角线的三个数字，同时自己尽量按横、纵、对角线的三个数字考虑摸牌.（你对这种建模还有什么特别说明吗？比如说，你先模，你应该模哪张比较好？你后模，又应该模幻方中哪个位置的比较好？）
例3：如图1，在半径为3的⊙O上有直径AB及动点P，PH⊥OA，垂足为H，G为△OPH三条中线的交点。
（1）利用超级画板画出满足条件的图形，并判断当点P在⊙O上运动时，线段GP、GO、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）当点P在⊙O上运动时，画出G点运动轨迹。
（3）设PH＝x，GP＝y，画出y关于x的函数图象。
                  

解答提示：
(1)GH＝1保持不变
(2)当点P在⊙O上运动时，G点运动轨迹如图2。
（3）y关于x的函数图象如图3
 
体验数学之奇
例1：阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的"友好矩形". 如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的"友好矩形".

（1）有人说，当△ABC是钝角三角形时，其"友好矩形"只有一个 ，你认为对吗？设计一个学具进行演示说明；
（2）仿照以上叙述，画图说明什么是一个三角形的"友好平行四边形"；
（3）若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，请画出△ABC的所有"友好矩形"，并比较这些矩形面积的大小；
（4）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，请画出△ABC的所有"友好矩形"，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
解答提示：（1）超级画板课件：拖动点A改变∠BAC的大小，发现当∠BAC>90°时，只有一个友好矩形.
          
    （2）如图②所示
        
（3）如图③若△ABC为直角三角形，则只有两个友好矩形，且它们的面积相等.
（4）此时共有3个友好矩形，如图的BCED、CAMN及ABLK，其中的矩形ABLK的周长最小 .       
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCED、CAMN及ABLK的周长分别为l，m，n，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，

例2：（课件展示如图）在以数学为主题的游乐场中，建造了以正多边形为轮子的火车.
你想不想坐上去感受一下？
(1)你知道这样的路面是什么样的曲线吗？说明理由.
(2)如何搭建这样的路面?说的越详细越好.
       
解答提示：本题是开发性的，答案不唯一.
二、高中组：
例1:探索点的轨迹
圆O的半径为5，点A和点B是圆O的圆周上的任意点.

点A和点B在圆周上从同一位置出发，以速度之比a:b分别在圆O上作匀速圆周运动.
点C是线段AB上的任意点.

请继续完成以下问题：
（1）a:b = 2:1时，请画出点C的轨迹图形.
（2）a:b = 2:1时，请你对点C的轨迹图形的形状和性质进行说明.
（3）a:b = 2:1时，以圆心O为原点建立平面直角坐标系，求点C的轨迹方程.
（4）a:b = 3:1时，请画出点C的轨迹图形，并求出它的轨迹方程.
（5）a:b = 3:1时，点C的轨迹图形与a:b = 2:1时有什么关系与区别？
（6）a:b = 3:2时，请画出点C的轨迹图形.这时点C的轨迹图形与a:b = 3:1时有什么关系与区别？
（7）a:b = 30:7时，请画出点C的轨迹图形.
（8）若a:b = -3:4，请画出点C的轨迹图形，并叙述一下它的特点.
（9）对于一般的a、b，求点C的轨迹方程.
解答提示：


 
（1）    点C的轨迹曲线如图1。
（2）    学生可以根据自己的认识进行说明.
（3）    以点O为原点任意建立平面直角坐标系.可设点A的坐标为(5cos(2t),5sin(2t))，则点B的坐标相应表示为(5cos(t),5sin(t)).
假设有向线段CA与有向线段BA之比为k，则点C的坐标可以表示为：
(5((1-k)cos(2t)+5cos(t)),5((1-k)sin(2t)+5sin(t)))
则点C的所构造的轨迹曲线的方程可表示为：
其中参数变量为t.
（4）    轨迹曲线图形如图2及轨迹方程为：
其中参数变量为t.
（5）    学生根据自己的观察和认识进行说明.
（6）    轨迹曲线图形如图3。学生根据自己的观察和认识进行说明关系与区别.
（7）    轨迹曲线图形如图4。
（8）    轨迹曲线图形如图5。
（9）    学生可以根据自己的认识叙述轨迹图形的特点.轨迹曲线方程为：
其中参数变量为t.
例2：求方程的近似解
计算机的特点就是速度快，不知疲倦地劳动。所以许多机械性、计算繁杂的工作可以交给计算机完成，我们只需要关注问题解答的结果。例如在计算机利用二分法求方程在指定区间上近似解的问题，就是一例。
    二分法算法的基本原理和过程是：
（1）确定在区间[a，b]上，f(x)=0有解。
（2）取a，b之间的中点x=(a+b)/2。
（3）如果x是方程的根，则x即为所求，退出程序。否则：
（4）若[a，b]的范围小于误差界限h，即(b-a)<h，则可取(a+b)/2作为方程的解，然后退出程序。否则：
（5）若f(a)×f(x)<0，则将f(x)=0的解范围缩小到[a，x]上，继续利用程序在[a，x]求解；否则将f(x)=0的解范围缩小到[x，b]上，继续利用程序在[x，b]求解。
（6）然后重复步骤（1）到步骤（4）之间的运算和判断，直到得到满足|f(x)|<h的x为止。
    上面算法的基本原理，在很多计算机程序语言中都可以完成。而利用超级画板的方便之处在于，无须对程序进行特别的编译，也无须加载对应库或者类的头文件，可直接运行，还可以随时进行修改。这对计算机程序语言的初学者来说，只需要关注算法本身的问题，变得更加容易入门和理解。
二分法算法变成超级画板中的程序语言就是：
Root(a,b,h)           
{
      x=(a+b)/2;
      if(f(x)==0){return x;}
      else{
             if((b-a)<h){return x;}
             else{
                    if(f(a)×f(x)<0){Root(a,x,h);}
                    else{Root(x,b,h);}
                    }
             }
}
这是一个对所有函数f(x)都通用的算法程序。
为了求函数f(x)= ln(x)+2x-6在区间[2，3]之间内精确到0.001的近似解，我们需要一下步骤：
（一）设置运算结果以浮点数形式显示
（1）打开程序工作区，输入：Float(1);。
（2）将光标放在该行，按住Ctrl健的同时击Enter健，执行命令（以下简称“执行命令”）。
（二）定义求近似解方程对应的函数f(x)
（3）将光标放在最后以行的结尾处击Enter键，光标转到输出结果的下方，继续输入：f(x){ln(x)+2×x-6;}
（4）将光标放在该行最后，执行命令，通过返回结果知道向计算机定义了函数f(x)。
（三）定义二分法算法的通用程序（函数）
（5）将光标转到输出结果的下方，输入：
    Root(a,b,h)           
{
           x=(a+b)/2;
           if(f(x)==0){return x;}
           else{
                  if((b-a)<h){return x;}
                  else{
                         if(f(a)×f(x)<0){Root(a,x,h);}
                         else{Root(x,b,h);}
                         }
                  }
}
（6）将光标放在最后一行大括弧"}"之后，执行命令，通过返回结果知道向计算机定义了函数Root(a, b, h)。
（四）求函数f(x)= ln(x)+2x-6;在区间[2，3]之间内的解，精确到0.001
（7）将光标转到输出结果的下方，输入：Root(2,3,0.001);。
（8）将光标放在该行最后，执行命令，结果返回近似根2.53467。
如下图所示：


如果需要求其他方程的近似解，只需要重新定义函数f(x)即可。重新定义函数的方法是修改上面步骤（3）中f(x)的内容，然后重新执行步骤（4）对应的操作。例如要
请继续完成一下操作和问题：
（1）    [问题1]做出函数f(x)=x^3-2×x-3对应的曲线，利用二分法求方程x^3-2×x-3=0的近似解，精确到0.01。
（2）    [问题2]做出函数g(x)=log(a,x)-a^x对应的曲线，探索方程log(a,x)-a^x=0在a取不同范围的值时对应解的情况。
（3）    [问题3]当a=0.03时，利用二分法求出方程log(a,x)-a^x=0的近似解，要求精确到0.001。
（4）    [问题4]当a=0.3时，利用二分法求出方程log(a,x)-a^x=0的近似解，要求精确到0.001。
（5）   [问题5]当a=1.3时，利用二分法求出方程log(a,x)-a^x=0的近似解，要求精确到0.001。