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2月
15 2008
 

一、初中组:


   作者:高红妹 发表时间-16 :17:50  阅读( 2851 )| 评论( 1 )

一、初中组:
发现数学之美
例1:点A是平面上的任意一点,点B是半径为R的⊙O上的任意点,点C是线段AB上的任意点.当点B在⊙O上运动时,点C的轨迹是什么?
(1)设计一个学具加以说明
(2)用你学过的知识加以说明.
解答提示:(1)利用超级画板作出图形,让点A在圆上动画,跟踪点B即可如下左图.
         (2)C点的轨迹是与⊙O位似的圆.其位似中心为A,位似比为BACA


例2:小明想和同学玩15点游戏,请你帮助设计一套永远不输的方法.
游戏方法:桌面随便放有黑桃A、黑桃2、黑桃3、…黑桃9,共9张牌,两人玩15点游戏,一人一次一张轮流拿牌,谁手中的三张牌和为15谁赢.
 
解答提示:本题答案不唯一.初一学生有学习过三阶幻方如图,可以利用它来建模.因为三阶幻方任意一横行、一纵列及一条对角线上的三个数字之和都等于15.我们在摸牌时注意防止对方模的牌满足横、纵、对角线的三个数字,同时自己尽量按横、纵、对角线的三个数字考虑摸牌.(你对这种建模还有什么特别说明吗?比如说,你先模,你应该模哪张比较好?你后模,又应该模幻方中哪个位置的比较好?)
例3:如图1,在半径为3的⊙O上有直径AB及动点P,PHOA,垂足为HG为△OPH三条中线的交点。
(1)利用超级画板画出满足条件的图形,并判断当点P在⊙O上运动时,线段GPGOGH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度;
(2)当点P在⊙O上运动时,画出G点运动轨迹。
(3)设PHxGPy,画出y关于x的函数图象。
                  

解答提示:
(1)GH=1保持不变
(2)当点P在⊙O上运动时,G点运动轨迹如图2。
(3)y关于x的函数图象如图3
 
体验数学之奇
例1:阅读以下短文,然后解决下列问题:
如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的"友好矩形". 如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的"友好矩形".

(1)有人说,当△ABC是钝角三角形时,其"友好矩形"只有一个 ,你认为对吗?设计一个学具进行演示说明;
(2)仿照以上叙述,画图说明什么是一个三角形的"友好平行四边形";
(3)若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,请画出△ABC的所有"友好矩形",并比较这些矩形面积的大小;
(4)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,请画出△ABC的所有"友好矩形",指出其中周长最小的矩形并加以证明.
解答提示:(1)超级画板课件:拖动点A改变∠BAC的大小,发现当∠BAC>90°时,只有一个友好矩形.
          
    (2)如图②所示
        
(3)如图③若△ABC为直角三角形,则只有两个友好矩形,且它们的面积相等.
(4)此时共有3个友好矩形,如图的BCEDCAMNABLK,其中的矩形ABLK的周长最小 .       
证明如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S. 设矩形BCEDCAMNABLK的周长分别为lmn,△ABC的边长BC=aCA=bAB=c


例2:(课件展示如图)在以数学为主题的游乐场中,建造了以正多边形为轮子的火车.
你想不想坐上去感受一下?
(1)你知道这样的路面是什么样的曲线吗?说明理由.
(2)如何搭建这样的路面?说的越详细越好.
       
解答提示:本题是开发性的,答案不唯一.
二、高中组:
例1:探索点的轨迹
O的半径为5,点A和点B是圆O的圆周上的任意点.

A和点B在圆周上从同一位置出发,以速度之比a:b分别在圆O上作匀速圆周运动.
C是线段AB上的任意点.

请继续完成以下问题:
(1)a:b = 2:1时,请画出点C的轨迹图形.
(2)a:b = 2:1时,请你对点C的轨迹图形的形状和性质进行说明.
(3)a:b = 2:1时,以圆心O为原点建立平面直角坐标系,求点C的轨迹方程.
(4)a:b = 3:1时,请画出点C的轨迹图形,并求出它的轨迹方程.
(5)a:b = 3:1时,点C的轨迹图形与a:b = 2:1时有什么关系与区别?
(6)a:b = 3:2时,请画出点C的轨迹图形.这时点C的轨迹图形与a:b = 3:1时有什么关系与区别?
(7)a:b = 30:7时,请画出点C的轨迹图形.
(8)若a:b = -3:4,请画出点C的轨迹图形,并叙述一下它的特点.
(9)对于一般的ab,求点C的轨迹方程.
解答提示:


 
(1)    点C的轨迹曲线如图1。
(2)    学生可以根据自己的认识进行说明.
(3)    以点O为原点任意建立平面直角坐标系.可设点A的坐标为(5cos(2t),5sin(2t)),则点B的坐标相应表示为(5cos(t),5sin(t)).
假设有向线段CA与有向线段BA之比为k,则点C的坐标可以表示为:
(5((1-k)cos(2t)+5cos(t)),5((1-k)sin(2t)+5sin(t)))
则点C的所构造的轨迹曲线的方程可表示为:
其中参数变量为t.
(4)    轨迹曲线图形如图2及轨迹方程为:
其中参数变量为t.
(5)    学生根据自己的观察和认识进行说明.
(6)    轨迹曲线图形如图3。学生根据自己的观察和认识进行说明关系与区别.
(7)    轨迹曲线图形如图4。
(8)    轨迹曲线图形如图5。
(9)    学生可以根据自己的认识叙述轨迹图形的特点.轨迹曲线方程为:
其中参数变量为t.
例2:求方程的近似解
计算机的特点就是速度快,不知疲倦地劳动。所以许多机械性、计算繁杂的工作可以交给计算机完成,我们只需要关注问题解答的结果。例如在计算机利用二分法求方程在指定区间上近似解的问题,就是一例。
    二分法算法的基本原理和过程是:
(1)确定在区间[a,b]上,f(x)=0有解。
(2)取a,b之间的中点x=(a+b)/2。
(3)如果x是方程的根,则x即为所求,退出程序。否则:
(4)若[a,b]的范围小于误差界限h,即(b-a)<h,则可取(a+b)/2作为方程的解,然后退出程序。否则:
(5)若f(a)×f(x)<0,则将f(x)=0的解范围缩小到[a,x]上,继续利用程序在[a,x]求解;否则将f(x)=0的解范围缩小到[x,b]上,继续利用程序在[x,b]求解。
(6)然后重复步骤(1)到步骤(4)之间的运算和判断,直到得到满足|f(x)|<h的x为止。
    上面算法的基本原理,在很多计算机程序语言中都可以完成。而利用超级画板的方便之处在于,无须对程序进行特别的编译,也无须加载对应库或者类的头文件,可直接运行,还可以随时进行修改。这对计算机程序语言的初学者来说,只需要关注算法本身的问题,变得更加容易入门和理解。
二分法算法变成超级画板中的程序语言就是:
Root(a,b,h)           
{
      x=(a+b)/2;
      if(f(x)==0){return x;}
      else{
             if((b-a)<h){return x;}
             else{
                    if(f(a)×f(x)<0){Root(a,x,h);}
                    else{Root(x,b,h);}
                    }
             }
}
这是一个对所有函数f(x)都通用的算法程序。
为了求函数f(x)= ln(x)+2x-6在区间[2,3]之间内精确到0.001的近似解,我们需要一下步骤:
(一)设置运算结果以浮点数形式显示
(1)打开程序工作区,输入:Float(1);。
(2)将光标放在该行,按住Ctrl健的同时击Enter健,执行命令(以下简称“执行命令”)。
(二)定义求近似解方程对应的函数f(x)
(3)将光标放在最后以行的结尾处击Enter键,光标转到输出结果的下方,继续输入:f(x){ln(x)+2×x-6;}
(4)将光标放在该行最后,执行命令,通过返回结果知道向计算机定义了函数f(x)。
(三)定义二分法算法的通用程序(函数)
(5)将光标转到输出结果的下方,输入:
    Root(a,b,h)           
{
           x=(a+b)/2;
           if(f(x)==0){return x;}
           else{
                  if((b-a)<h){return x;}
                  else{
                         if(f(a)×f(x)<0){Root(a,x,h);}
                         else{Root(x,b,h);}
                         }
                  }
}
(6)将光标放在最后一行大括弧"}"之后,执行命令,通过返回结果知道向计算机定义了函数Root(a, b, h)。
(四)求函数f(x)= ln(x)+2x-6;在区间[2,3]之间内的解,精确到0.001
(7)将光标转到输出结果的下方,输入:Root(2,3,0.001);。
(8)将光标放在该行最后,执行命令,结果返回近似根2.53467。
如下图所示:


如果需要求其他方程的近似解,只需要重新定义函数f(x)即可。重新定义函数的方法是修改上面步骤(3)中f(x)的内容,然后重新执行步骤(4)对应的操作。例如要
请继续完成一下操作和问题:
(1)    [问题1]做出函数f(x)=x^3-2×x-3对应的曲线,利用二分法求方程x^3-2×x-3=0的近似解,精确到0.01。
(2)    [问题2]做出函数g(x)=log(a,x)-a^x对应的曲线,探索方程log(a,x)-a^x=0在a取不同范围的值时对应解的情况。
(3)    [问题3]当a=0.03时,利用二分法求出方程log(a,x)-a^x=0的近似解,要求精确到0.001。
(4)    [问题4]当a=0.3时,利用二分法求出方程log(a,x)-a^x=0的近似解,要求精确到0.001。
(5)   [问题5]当a=1.3时,利用二分法求出方程log(a,x)-a^x=0的近似解,要求精确到0.001。
 

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    例1的 第4题应该是4s吧!妹子。有空跟我联系。QQ:878051392
     
     游客  2010-08-06 12:36:45   60.171.155.70

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